Tekintettel a városok sorozatára és a városok közötti távolságra, a probléma az, hogy megtalálja a lehető legrövidebb túrát, amely minden várost pontosan egyszer meglátogat, és visszatér a kiindulási ponthoz.
Például vegye figyelembe a jobb oldalon található ábrán látható grafikont. A grafikonon lévő TSP túra 0-1-3-2-0. A túra költsége 10+25+30+15, ami 80.
Megvitattuk a következő megoldásokat
1) Naiv és dinamikus programozás
2) Hozzávetőleges megoldás az MST használatával
Ág és kötött oldat
Mint az előző cikkekben az ág és a kötött módszer az aktuális csomóponthoz kötött, a fákban az aktuális csomópontban látható, a lehető legjobb megoldást számoljuk, amelyet akkor kaphatunk, ha le tudjuk kapni ezt a csomópontot. Ha maga a lehető legjobb megoldás kötötte rosszabb, mint az aktuális legjobb (eddig a legjobban kiszámítva), akkor figyelmen kívül hagyjuk a csomóponttal gyökerező alfát.
Vegye figyelembe, hogy a csomóponton keresztüli költségek két költséget tartalmaznak.
1) A csomópont elérésének költsége a gyökérből (amikor elérjük a csomópontot, ezt a költség kiszámítva van)
2) A válasz elérésének költsége az aktuális csomópontból a levélre (kiszámítjuk ezt a költséget annak eldöntésére, hogy figyelmen kívül hagyjuk -e az alfát ezzel a csomóponttal).
- A maximalizálási probléma A felső határ megmondja nekünk a lehetséges lehetséges megoldást, ha az adott csomópontot követjük. Például 0/1 KNAPSACK kapzsi megközelítést alkalmaztunk a felső határ keresésére -
- A minimalizálási probléma Az alsó határ megmutatja nekünk a lehetséges lehetséges megoldást, ha az adott csomópontot követjük. Például Munkaviszony -probléma Az alsó határértéket kapjuk, ha a legkevesebb költséggel rendelkező munkavállalót hozzárendeljük.
Az ágban és a kötöttben a kihívást jelentő rész kitalálja a lehető legjobb megoldáshoz kötött módot. Az alábbiakban bemutatunk egy ötletet, amely kiszámítja az utazó eladói problémára vonatkozó határokat.
Bármely túra költsége az alábbiak szerint írható.
Cost of a tour T = (1/2) * ? (Sum of cost of two edges adjacent to u and in the tour T) where u ? V For every vertex u if we consider two edges through it in T and sum their costs. The overall sum for all vertices would be twice of cost of tour T (We have considered every edge twice.) (Sum of two tour edges adjacent to u) >= (sum of minimum weight two edges adjacent to u) Cost of any tour >= 1/2) * ? (Sum of cost of two minimum weight edges adjacent to u) where u ? V
Például vegye figyelembe a fenti ábrát. Az alábbiakban az alábbiakban szerepelünk minimális költség két szél minden csomópont mellett.
Node Least cost edges Total cost 0 (0 1) (0 2) 25 1 (0 1) (1 3) 35 2 (0 2) (2 3) 45 3 (0 3) (1 3) 45 Thus a lower bound on the cost of any tour = 1/2(25 + 35 + 45 + 45) = 75 Refer this for one more example.
Most van egy ötletünk az alsó határ kiszámításáról. Nézzük meg, hogyan lehet alkalmazni azt az állami térkeresési fát. Elkezdjük felsorolni az összes lehetséges csomópontot (lehetőleg lexikográfiai sorrendben)
1. A gyökér csomópont: Az általános jelleg elvesztése nélkül feltételezzük, hogy a '0' csúcson indulunk, amelyre az alsó határot fentebb számították.
A 2. szintű foglalkozás: A következő szint felsorolja az összes lehetséges csúcsot (szem előtt tartva, hogy bármely útvonalon csak egyszer kell megtörténnie), amelyek 1 2 3 ... n (vegye figyelembe, hogy a grafikon teljes). Vegyük figyelembe, hogy kiszámítjuk az 1. csúcsot, mivel 0-tól 1-ig költözöttünk, a turnéunkban a 0-1-es él. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a gyökér alsó határán szükséges változtatásokat hajtsunk végre.
Lower Bound for vertex 1 = Old lower bound - ((minimum edge cost of 0 + minimum edge cost of 1) / 2) + (edge cost 0-1)
Hogyan működik? A 0-1-es él bevonásához hozzáadjuk a 0-1 szélköltségét, és levonjuk a szél súlyát úgy, hogy az alsó határ a lehető legszorosabb maradjon, ami a 0 és 1 minimális szélének összege lenne.
Más szintekkel való foglalkozás: A következő szintre haladva újra felsoroljuk az összes lehetséges csúcsot. A fenti esethez 1 után tovább haladunk, és ellenőrizzük 2 3 4 ... n.
Fontolja meg az alsó határot a 2-re, mivel 1-ről 1-re költöztünk. Az 1-2-es élbe belefoglaljuk a túrát, és megváltoztatjuk a csomópont új alsó határát.
Lower bound(2) = Old lower bound - ((second minimum edge cost of 1 + minimum edge cost of 2)/2) + edge cost 1-2)
Megjegyzés: A képlet egyetlen változása az, hogy ezúttal az 1 -es második minimális élköltségbe vettük, mivel a minimális élköltséget már kivonják az előző szinten.
C++
// C++ program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. #include
// Java program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. import java.util.*; class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int final_path[] = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static boolean visited[] = new boolean[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Integer.MAX_VALUE; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int curr_path[]) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int adj[][] int i) { int min = Integer.MAX_VALUE; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i][k] < min && i != k) min = adj[i][k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int adj[][] int i) { int first = Integer.MAX_VALUE second = Integer.MAX_VALUE; for (int j=0; j<N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i][j] <= first) { second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] != first) second = adj[i][j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int adj[][] int curr_bound int curr_weight int level int curr_path[]) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level-1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level-1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Arrays.fill(visitedfalse); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int adj[][]) { int curr_path[] = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Arrays.fill(curr_path -1); Arrays.fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound==1)? curr_bound/2 + 1 : curr_bound/2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code public static void main(String[] args) { //Adjacency matrix for the given graph int adj[][] = {{0 10 15 20} {10 0 35 25} {15 35 0 30} {20 25 30 0} }; TSP(adj); System.out.printf('Minimum cost : %dn' final_res); System.out.printf('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { System.out.printf('%d ' final_path[i]); } } } /* This code contributed by PrinciRaj1992 */
# Python3 program to solve # Traveling Salesman Problem using # Branch and Bound. import math maxsize = float('inf') # Function to copy temporary solution # to the final solution def copyToFinal(curr_path): final_path[:N + 1] = curr_path[:] final_path[N] = curr_path[0] # Function to find the minimum edge cost # having an end at the vertex i def firstMin(adj i): min = maxsize for k in range(N): if adj[i][k] < min and i != k: min = adj[i][k] return min # function to find the second minimum edge # cost having an end at the vertex i def secondMin(adj i): first second = maxsize maxsize for j in range(N): if i == j: continue if adj[i][j] <= first: second = first first = adj[i][j] elif(adj[i][j] <= second and adj[i][j] != first): second = adj[i][j] return second # function that takes as arguments: # curr_bound -> lower bound of the root node # curr_weight-> stores the weight of the path so far # level-> current level while moving # in the search space tree # curr_path[] -> where the solution is being stored # which would later be copied to final_path[] def TSPRec(adj curr_bound curr_weight level curr_path visited): global final_res # base case is when we have reached level N # which means we have covered all the nodes once if level == N: # check if there is an edge from # last vertex in path back to the first vertex if adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0: # curr_res has the total weight # of the solution we got curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]] [curr_path[0]] if curr_res < final_res: copyToFinal(curr_path) final_res = curr_res return # for any other level iterate for all vertices # to build the search space tree recursively for i in range(N): # Consider next vertex if it is not same # (diagonal entry in adjacency matrix and # not visited already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 and visited[i] == False): temp = curr_bound curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i] # different computation of curr_bound # for level 2 from the other levels if level == 1: curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) else: curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) # curr_bound + curr_weight is the actual lower bound # for the node that we have arrived on. # If current lower bound < final_res # we need to explore the node further if curr_bound + curr_weight < final_res: curr_path[level] = i visited[i] = True # call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path visited) # Else we have to prune the node by resetting # all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i] curr_bound = temp # Also reset the visited array visited = [False] * len(visited) for j in range(level): if curr_path[j] != -1: visited[curr_path[j]] = True # This function sets up final_path def TSP(adj): # Calculate initial lower bound for the root node # using the formula 1/2 * (sum of first min + # second min) for all edges. Also initialize the # curr_path and visited array curr_bound = 0 curr_path = [-1] * (N + 1) visited = [False] * N # Compute initial bound for i in range(N): curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)) # Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = math.ceil(curr_bound / 2) # We start at vertex 1 so the first vertex # in curr_path[] is 0 visited[0] = True curr_path[0] = 0 # Call to TSPRec for curr_weight # equal to 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path visited) # Driver code # Adjacency matrix for the given graph adj = [[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]] N = 4 # final_path[] stores the final solution # i.e. the // path of the salesman. final_path = [None] * (N + 1) # visited[] keeps track of the already # visited nodes in a particular path visited = [False] * N # Stores the final minimum weight # of shortest tour. final_res = maxsize TSP(adj) print('Minimum cost :' final_res) print('Path Taken : ' end = ' ') for i in range(N + 1): print(final_path[i] end = ' ') # This code is contributed by ng24_7
// C# program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. using System; public class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int[] final_path = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static bool[] visited = new bool[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Int32.MaxValue; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int[] curr_path) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int[ ] adj int i) { int min = Int32.MaxValue; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i k] < min && i != k) min = adj[i k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int[ ] adj int i) { int first = Int32.MaxValue second = Int32.MaxValue; for (int j = 0; j < N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i j] <= first) { second = first; first = adj[i j]; } else if (adj[i j] <= second && adj[i j] != first) second = adj[i j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored // which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int[ ] adj int curr_bound int curr_weight int level int[] curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same // (diagonal entry in adjacency matrix and not // visited already) if (adj[curr_path[level - 1] i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1] i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); // curr_bound + curr_weight is the actual // lower bound for the node that we have // arrived on If current lower bound < // final_res we need to explore the node // further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by // resetting all changes to curr_weight and // curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1] i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Array.Fill(visited false); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int[ ] adj) { int[] curr_path = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Array.Fill(curr_path -1); Array.Fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound == 1) ? curr_bound / 2 + 1 : curr_bound / 2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code static public void Main() { // Adjacency matrix for the given graph int[ ] adj = { { 0 10 15 20 } { 10 0 35 25 } { 15 35 0 30 } { 20 25 30 0 } }; TSP(adj); Console.WriteLine('Minimum cost : ' + final_res); Console.Write('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { Console.Write(final_path[i] + ' '); } } } // This code is contributed by Rohit Pradhan
const N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. let final_path = Array (N + 1).fill (-1); // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path let visited = Array (N).fill (false); // Stores the final minimum weight of shortest tour. let final_res = Number.MAX_SAFE_INTEGER; // Function to copy temporary solution to // the final solution function copyToFinal (curr_path){ for (let i = 0; i < N; i++){ final_path[i] = curr_path[i]; } final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i function firstMin (adj i){ let min = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let k = 0; k < N; k++){ if (adj[i][k] < min && i !== k){ min = adj[i][k]; } } return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i function secondMin (adj i){ let first = Number.MAX_SAFE_INTEGER; let second = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let j = 0; j < N; j++){ if (i == j){ continue; } if (adj[i][j] <= first){ second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] !== first){ second = adj[i][j]; } } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] function TSPRec (adj curr_bound curr_weight level curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] !== 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got let curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal (curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (let i = 0; i < N; i++){ // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level - 1]][i] !== 0 && !visited[i]){ let temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1){ curr_bound -= (firstMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } else { curr_bound -= (secondMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res){ curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec (adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array visited.fill (false) for (var j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] function TSP (adj) { let curr_path = Array (N + 1).fill (-1); // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array let curr_bound = 0; visited.fill (false); // compute initial bound for (let i = 0; i < N; i++){ curr_bound += firstMin (adj i) + secondMin (adj i); } // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = curr_bound == 1 ? (curr_bound / 2) + 1 : (curr_bound / 2); // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec (adj curr_bound 0 1 curr_path); } //Adjacency matrix for the given graph let adj =[[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]]; TSP (adj); console.log (`Minimum cost:${final_res}`); console.log (`Path Taken:${final_path.join (' ')}`); // This code is contributed by anskalyan3.
Kimenet:
Minimum cost : 80 Path Taken : 0 1 3 2 0
A kerekítést ebben a kódsorban végezzük:
if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2);
Az ágban és a kötött tesp algoritmusban kiszámoljuk az optimális megoldás teljes költségének alsó határát azáltal, hogy összeadjuk az egyes csúcsok minimális élekköltségeit, majd elosztjuk kettőt. Ez az alsó határ azonban nem feltétlenül egész szám. Ahhoz, hogy egész számú alsó határot kapjunk, használhatunk kerekítést.
A fenti kódban a CURR_Bound változó az optimális megoldás teljes költségén az áram alsó határát tartja. Amikor egy új csúcs szintjén ellátogatunk egy új csúcs szintjén, kiszámítunk egy új alsóbb határot, az új csúcs és annak két legközelebbi szomszédjának a minimális élek költségeinek összegét. Ezután frissítjük a curr_bound változót a New_bound -nak a legközelebbi egész számra kerekítésével.
Ha a szint 1, akkor a legközelebbi egész számra kerekítjük. Ennek oka az, hogy eddig csak egy csúcsot látogattunk meg, és konzervatívak akarunk lenni az optimális megoldás teljes költségének becslésében. Ha a szint nagyobb, mint 1, egy agresszívabb kerekítési stratégiát használunk, amely figyelembe veszi azt a tényt, hogy már meglátogattunk néhány csúcsot, és ezért pontosabb becslést tudunk tenni az optimális megoldás teljes költségéről.
Idő bonyolultsága: Az ág és a kötött legrosszabb eset bonyolultsága ugyanolyan marad, mint a brutális erő egyértelműen, mivel a legrosszabb esetben soha nem kaphatunk esélyt egy csomópont metszésére. Míg a gyakorlatban a TSP különböző példányától függően nagyon jól teljesít. A bonyolultság a határoló funkció megválasztásától is függ, mivel ők azok, amelyek eldöntik, hogy hány csomópontot metsznek.
Hivatkozások:
http://lcm.csa.iisc.ernet.in/dsa/node187.html