Ha megvan a másodfokú képlet és a másodfokú egyenletek alapjai, itt az ideje a parabolákkal való kapcsolatának következő szintjére: megismerni a másodfokú egyenleteket. csúcsforma .

Olvasson tovább, ha többet szeretne megtudni a parabola csúcsformájáról, és arról, hogyan alakíthat át másodfokú egyenletet szabványos formáról csúcsformára.

jellemző kép jóváírása: SBA73 /Flickr

Miért hasznos a Vertex Form? Áttekintés

A csúcsforma Az egyenlet egy alternatív módja a parabola egyenletének felírására.

Általában $ax^2+bx+c$ másodfokú egyenletet fog látni, amely grafikonon egy parabola lesz. Ebből az űrlapból elég könnyű megtalálni az egyenlet gyökereit (ahol a parabola eléri a $x$-tengelyt), ha az egyenletet nullára állítja (vagy a másodfokú képlet használatával).

Ha azonban meg kell találnia egy parabola csúcsát, a szabványos másodfokú forma sokkal kevésbé hasznos. Ehelyett érdemes a másodfokú egyenletet csúcsformává alakítani.

Mi az a Vertex forma?

Míg a szabványos másodfokú forma $ax^2+bx+c=y$, a másodfokú egyenlet csúcsalakja $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Mindkét formában $y$ a $y$-koordináta, $x$ a $x$-koordináta, és $a$ az állandó, amely megmondja, hogy a parabola felfelé ($+a$) vagy lefelé néz. ($-a$). (Úgy gondolom, mintha a parabola egy tál almaszós lenne; ha van $+a$, akkor adhatok almaszószt a tálba; ha $-a$, akkor kirázhatom az almaszószt a tálból.)

A különbség a parabola standard alakja és a csúcsforma között az, hogy az egyenlet csúcsformája megadja a parabola csúcsát is: $(h,k)$.

Például nézze meg ezt a finom parabolát, $y=3(x+4/3)^2-2$:

A gráf alapján a parabola csúcsa körülbelül (-1,5, -2) szerűnek tűnik, de csak a gráfból nehéz megmondani, hogy pontosan hol van a csúcs. Szerencsére a $y=3(x+4/3)^2-2$ egyenlet alapján tudjuk, hogy ennek a parabolának a csúcsa $(-4/3,-2)$.

Miért van a $(-4/3,-2)$ csúcs és nem a $(4/3,-2)$ (a gráfon kívül, ami egyértelművé teszi a $x$- és a $y$- koordinátákat is a csúcsok negatívak)?

Emlékezik: a csúcsforma egyenletében a $h$ kivonásra kerül és a $k$ hozzáadásra kerül . Ha negatív $h$ vagy negatív $k$, akkor ügyeljen arra, hogy kivonja a negatív $h$-t, és hozzáadja a negatív $k$-t.

Ebben az esetben ez azt jelenti:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

és így a csúcs $(-4/3,-2)$.

Mindig ellenőrizze a pozitív és negatív előjeleket, amikor csúcsformájú parabolát ír ki , különösen akkor, ha a csúcsnak nincs pozitív $x$ és $y$ értéke (vagy ha nincs benne I. kvadráns ). Ez hasonló ahhoz az ellenőrzéshez, amelyet akkor tenne, ha a másodfokú képletet ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) oldaná meg, és meg kell győződnie arról, hogy a pozitív és negatívok közvetlenül a $a$s, $b$s és $c$s számára.

Az alábbiakban egy táblázat található további példákkal néhány más parabola csúcsforma egyenletre, valamint azok csúcsaira. Figyeljük meg különösen a parabola csúcs egyenletének $(x-h)^2$ részének különbségét, ha a csúcs $x$ koordinátája negatív.

Hogyan konvertálhatunk szabványos másodfokú formából csúcsformába

Amikor a rendszer arra kéri, hogy másodfokú egyenleteket konvertáljon a különböző formák között, akkor a szabványos formáról ($ax^2+bx+c$) a csúcsformára ($a(x-h)^2+k$) vált át. ).

Az egyenlet szabványos másodfokúból csúcsformába konvertálása magában foglalja a négyzet befejezésének nevezett lépések sorozatát. (Ha többet szeretne megtudni a négyzet kitöltésével kapcsolatban, feltétlenül olvassa el ezt a cikket.)

Nézzünk meg egy példát egy egyenlet szabványos formáról csúcsformára konvertálására. Kezdjük a $y=7x^2+42x-3/14$ egyenlettel.

Az első dolog, amit tennie kell, az, hogy áthelyezi a konstanst, vagy a kifejezést anélkül, hogy $x$ vagy $x^2$ lenne mellette. Ebben az esetben a konstansunk $-3/14$. (Tudjuk, hogy az negatív $3/14$, mert a szabványos másodfokú egyenlet: $ax^2+bx+c$, nem pedig $ax^2+bx-c$.)

Először is vesszük ezt a -3/14 dollárt, és áthelyezzük az egyenlet bal oldalára:

$y+3/14=7x^2+42x$

A következő lépés a 7 (az egyenletben szereplő $a$ érték) kiszámítása a jobb oldalról, így:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Nagy! Ez az egyenlet sokkal inkább hasonlít a csúcsformához, $y=a(x-h)^2+k$.

Ezen a ponton azt gondolhatja: 'Most már csak annyit kell tennem, hogy a 3/14 dollárt vissza kell helyeznem az egyenlet jobb oldalára, igaz?' Jaj, nem olyan gyorsan.

Ha megnézi a zárójelben lévő egyenlet egy részét, észrevesz egy problémát: nem $(x-h)^2$ formában van. Túl sok a $x$s! Szóval még nem végeztünk.

Amit most meg kell tennünk, az a legnehezebb rész – a négyzet befejezése.

Nézzük meg közelebbről az egyenlet $x^2+6x$ részét. Ahhoz, hogy a $(x^2+6x)$-t beleszámíthassuk valamibe, ami hasonlít a $(x-h)^2$-hoz, egy konstanst kell hozzáadnunk a zárójelek belsejébe – és emlékeznünk kell hogy ezt az állandót az egyenlet másik oldalához is hozzáadjuk (mivel az egyenletnek egyensúlyban kell maradnia).

Ennek beállításához (és ügyeljünk arra, hogy ne felejtsük el hozzáadni a konstanst az egyenlet másik oldalához), hozunk létre egy üres helyet, ahol a konstans az egyenlet mindkét oldalára kerül:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Jegyezzük meg, hogy az egyenlet bal oldalán ügyeltünk arra, hogy a $a$ értékünket, a 7-et szerepeltessük azon tér előtt, ahová a konstansunk megy; ez azért van, mert nem csak hozzáadjuk az állandót az egyenlet jobb oldalához, hanem megszorozzuk a konstanst azzal, ami a zárójelben kívül található. (Ha az $a$ értéke 1, akkor nem kell aggódnia emiatt.)

A következő lépés a négyzet befejezése. Ebben az esetben a kitöltendő négyzet a zárójelben lévő egyenlet – egy állandó hozzáadásával négyzetként felírható egyenletté alakítja.

Az új konstans kiszámításához vegyük a $x$ melletti értéket (ebben az esetben 6), osszuk el 2-vel, és négyzetezzük.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Az állandó 9.

A 6-ot felezzük és négyzetezzük, mert tudjuk, hogy egy $(x+p)(x+p)$ formájú egyenletben (ezt próbáljuk elérni) $px+px= 6x$, tehát $p=6/2$; hogy megkapjuk a $p^2$ konstanst, ezért vegyünk $6/2$-t (a $p$-unkat), és négyzetezzük.

Most cserélje ki az egyenletünk mindkét oldalán lévő üres helyet a 9-es konstansra:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Ezután faktorozza a zárójelben lévő egyenletet. Mivel befejeztük a négyzetet, így $(x+{some umber})^2$-ként számolhatja.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Utolsó lépés: mozgassa a nem $y$ értéket az egyenlet bal oldaláról vissza a jobb oldalra:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gratulálunk! Sikeresen átalakította az egyenletet szabványos másodfokúból csúcsformába.

Nos, a legtöbb probléma nem csak azt fogja kérni, hogy konvertálja az egyenleteket szabványos formáról csúcsformára; azt akarják, hogy ténylegesen adja meg a parabola csúcsának koordinátáit.

Annak érdekében, hogy elkerüljük az előjelváltoztatások megtévesztését, írjuk fel az általános csúcsforma egyenletet közvetlenül az imént kiszámított csúcsforma egyenlet fölé:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

És akkor könnyen megtaláljuk a $h$-t és a $k$-t:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Ennek a parabolának a csúcsa a koordinátákon van $(-3,-{885/14})$.

Hú, ez egy csomó szám keverése volt! Szerencsére az egyenletek másik irányú konvertálása (csúcsról szabványos alakra) sokkal egyszerűbb.

Hogyan konvertálhatunk Vertex űrlapból szabványos űrlapra

Az egyenletek csúcsformájukból a szabályos másodfokú formába konvertálása sokkal egyszerűbb folyamat: mindössze annyit kell tennie, hogy ki kell szoroznia a csúcsformát.

Vegyük a korábbi példaegyenletünket, $y=3(x+4/3)^2-2$. Ahhoz, hogy ezt szabványos formává alakítsuk, csak bontsuk ki az egyenlet jobb oldalát:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Sikeresen átalakította a $y=3(x+4/3)^2-2$ $ax^2+bx+c$ formátumra.

Parabola Vertex formagyakorlat: Mintakérdések

A csúcsforma feltárásának lezárásaként négy példaproblémánk és magyarázatunk van. Nézze meg, hogy maga is meg tudja-e oldani a problémákat, mielőtt elolvassa a magyarázatokat!

#1: Mi a $x^2+ 2,6x+1,2$ másodfokú egyenlet csúcsalakja?

#2: Alakítsa át a $7y=91x^2-112$ egyenletet csúcsformává. Mi az a csúcs?

#3: Adott a $y=2(x-3/2)^2-9$ egyenlet, melyek a $x$-koordinátái annak, ahol ez az egyenlet metszi a $x$ tengellyel?

#4: Keresse meg a $y=({1/9}x-6)(x+4)$ parabola csúcsát.

Parabola Vertex formagyakorlat: megoldások

#1: Mi a ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ másodfokú egyenlet csúcsformája?

Kezdje azzal, hogy szétválasztja a nem $x$ változót az egyenlet másik oldalára:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Mivel az eredeti egyenletben szereplő $a$-unk (mint az $ax^2+bx+c$-ban) egyenlő 1-gyel, itt nem kell kiszámítanunk a jobb oldalról (bár ha akarod, írhatsz is $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Ezután oszd el a $x$ együtthatót (2,6) 2-vel, és négyzetezd, majd add hozzá a kapott számot az egyenlet mindkét oldalához:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69 $

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Tényezősítse az egyenlet jobb oldalát a zárójelben:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Végül kombinálja az egyenlet bal oldalán lévő állandókat, majd helyezze át őket a jobb oldalra.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

A válaszunk: $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Alakítsa át a $7i y=91i x^2-112$ egyenletet csúcsformává. Mi az a csúcs?

Amikor egy egyenletet csúcsformába konvertál, azt szeretné, hogy az $y$ együtthatója 1 legyen, ezért az első dolog, amit tegyünk, az egyenlet mindkét oldalát elosztani 7-tel:

$7y = 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Ezután vigye át az állandót az egyenlet bal oldalára:

$y+16=13x^2$

Tényezd ki a $x^2$ szám (az $a$) együtthatóját az egyenlet jobb oldaláról

$y+16=13(x^2)$

Most általában ki kell egészítenie a négyzetet az egyenlet jobb oldalán a zárójelben. A $x^2$ azonban már egy négyzet, így nem kell semmit tennie azon kívül, hogy az egyenlet bal oldaláról vissza kell mozgatnia a konstanst a jobb oldalra:

$y=13(x^2)-16$.

Most pedig keressük meg a csúcsot:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, tehát $h=0$

$+k=-16$, tehát $k=-16$

A parabola csúcsa $(0, -16)$.

#3: Adott a $i y=2(i x-3/2)^2-9$ egyenlet, mi(ek) a $i x$-koordinátái, ahol ez az egyenlet metszi $i x$-tengely?

Mivel a kérdés az egyenlet $x$-metszete(i) megkeresését kéri, az első lépés az $y=0$ beállítása.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Innentől kezdve van néhány út. Az alattomos módszer az, hogy előnyünkre használjuk fel azt a tényt, hogy a csúcsforma egyenletbe már be van írva egy négyzet.

Először áthelyezzük az állandót az egyenlet bal oldalára:

$0=2(x-3/2)^2-9$

9 USD=2(x-3/2)^2$

Ezután az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 2-vel:

$9/2=(x-3/2)^2$

Most az alattomos rész. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±