Ebben a cikkben a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget fogjuk megvitatni. Itt tárgyaljuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbség tulajdonságait is.
Remélhetőleg ez a cikk hasznos lesz a két készlet közötti szimmetrikus különbség megértésében.
Mi a szimmetrikus különbség?
A különbség másik változata a szimmetrikus különbség. Tegyük fel, hogy két halmaz van, A és B. Az A és B halmaz közötti szimmetrikus különbség az a halmaz, amely tartalmazza azokat az elemeket, amelyek mindkét halmazban jelen vannak, kivéve a közös elemeket.
A két halmaz közötti szimmetrikus különbséget nak is nevezik diszjunktív egyesülés . Két halmaz közötti szimmetrikus különbség olyan elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban vannak, de nem metszéspontjában. A két A és B halmaz közötti szimmetrikus különbséget a A D B vagy A ? B .
Ezt példákon keresztül érthetjük meg.
Példa1 Tegyük fel, hogy két halmaz van néhány elemmel.
A halmaz = {1, 2, 3, 4, 5}
B halmaz = {3, 5}
Tehát az adott A és B halmazok közötti szimmetrikus különbség {1, 2, 4}
Vagy mondhatjuk ezt A Δ B = {1, 2, 4} .
Példa2 Tegyük fel, hogy két halmaz van néhány elemmel.
A halmaz = {a, b, c, k, m, n}
B halmaz = {c, n}
Tehát az adott A és B halmazok közötti szimmetrikus különbség {a, b, k, m}
Vagy mondhatjuk ezt A Δ B = {a, b, k, m} .
Az alábbi Venn-diagramon láthatjuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget.
A fenti Venn-diagramban a bőrszínnel árnyékolt rész az adott halmazok közötti szimmetrikus különbség, azaz A D B .
Nézzük meg a két halmaz közötti szimmetrikus különbség néhány tulajdonságát.
Tulajdonságok
A szimmetrikus különbségnek van néhány tulajdonsága, amelyeket az alábbiak szerint sorolunk fel;
- A szimmetrikus különbség mindkét relatív komplementer uniójaként ábrázolható, azaz
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - A két halmaz közötti szimmetrikus különbség úgy is kifejezhető, hogy két halmaz uniója mínusz a köztük lévő metszéspont -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - A szimmetrikus különbség kommutatív és asszociatív -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Az üres halmaz semleges (a matematikában a semleges elemet egy speciális elemtípusnak nevezik, amelyet a halmaz bármely elemével kombinálva bináris művelet végrehajtására változatlanul hagyja az elemet. Más néven: Identitás elem ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Ha az A halmaz egyenlő B halmazzal, akkor a két halmaz közötti szimmetrikus különbség -
A Δ B = ∅ {amikor A = B}
„Két halmaz közötti szimmetrikus különbség” v/s „Két halmaz közötti különbség”
Különbség a két készlet között
Két A és B halmaz közötti különbség az A-hoz tartozó, de B-hez nem tartozó elemek halmaza, és a A-B .
Példa: Legyen A = {1, 2, 3, 4}
és B = {3, 4, 5, 6}
akkor A - B = {3, 4} és B - A = {5, 6}
Szimmetrikus különbség két halmaz között
A szimmetrikus különbség két halmaz, A és B között, az a halmaz, amely tartalmazza az A-ban vagy B-ben szereplő összes elemet, de mindkettőben nem. Ezt képviseli A D B vagy A ? B .
Példa: Legyen A = {1, 2, 3, 4}
és B = {3, 4, 5, 6}
akkor A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Most pedig lássunk néhány példát, hogy jobban megértsük a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget.
1. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {10, 15, 17, 19, 20} és B = {15, 16, 18} halmazok. Nézze meg az A és B halmaz közötti különbséget, és találja meg a köztük lévő szimmetrikus különbséget is.
Megoldás - Adott,
java szál létrehozása
A = {10, 15, 17, 19, 20}
és B = {15, 16, 18}
A különbség a két készlet között -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
A két halmaz közötti szimmetrikus különbség:
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
2. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {2, 4, 6, 8} és B = {2, 5, 7, 8} halmazok. Határozza meg a B Δ A szimmetrikus különbséget. Rajzolja fel a Venn-diagramot is, amely ábrázolja a két adott halmaz közötti szimmetrikus különbséget.
Megoldás - Adott, A = {2, 4, 6, 8} és B = {2, 5, 7, 8}
Tudjuk, hogy B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Próbáljuk lépésről lépésre megoldani a kérdést. Tehát az első lépés az A halmaz és a B halmaz uniójának megtalálása.
Ezért (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Ezt követően ki kell számítanunk a két halmaz metszéspontját.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Most meg kell találnunk a különbséget az A és B halmazok egyesülése és metszéspontja között, amint az a képletben szerepel,
Tehát (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Ezért B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Ami megegyezik az A Δ B-vel, amint azt fentebb említettük, „A szimmetrikus különbség kommutatív”. Most megmutatjuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget a Venn-diagramon keresztül.
A Venn-diagramban először két kört rajzolunk, amelyek az A és B halmazt reprezentálják. Ahogy fentebb kiszámítottuk, a két halmaz metszéspontja {2, 8}, ezért ezeket az elemeket a metsző tartományba soroltuk. Ezután felsoroljuk a fennmaradó elemeket a megfelelő halmazkörükben, azaz {4, 6} az A halmazban és {5, 7} a B halmazban. Az elemek elrendezése után a Venn-diagram a következő lesz:
Ha a fenti Venn-diagramot nézzük, van egy U univerzális halmaz. Mind A, mind B halmaz az U univerzális halmaz részhalmaza. A {2, 8} elemek a metsző elemek, tehát a metsző tartományban vannak ábrázolva. A világos narancssárga színű terület a halmazok uniója, kivéve a metsző tartományt. Ez a tartomány az A és B halmaz közötti szimmetrikus különbség, és a következőképpen lesz ábrázolva:
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
3. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {5, 6, 8, 9, 10} és B = {2, 4, 7, 10, 19} halmazok.
Bizonyítsuk be, hogy a szimmetrikus különbség kommutatív a megadott halmazok segítségével.
Megoldás - Adott, A = {5, 6, 8, 9, 10} és B = {2, 7, 8, 9, 10}
Bizonyítani: A Δ B = B Δ A
Vegyél LHS-t,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Tehát A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Most vegyük az RHS-t
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Tehát B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Ezért A Δ B = B Δ A
Ezért a szimmetrikus különbség kommutatív.