Ebben a cikkben a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget fogjuk megvitatni. Itt tárgyaljuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbség tulajdonságait is.

Remélhetőleg ez a cikk hasznos lesz a két készlet közötti szimmetrikus különbség megértésében.

Mi a szimmetrikus különbség?

A különbség másik változata a szimmetrikus különbség. Tegyük fel, hogy két halmaz van, A és B. Az A és B halmaz közötti szimmetrikus különbség az a halmaz, amely tartalmazza azokat az elemeket, amelyek mindkét halmazban jelen vannak, kivéve a közös elemeket.

A két halmaz közötti szimmetrikus különbséget nak is nevezik diszjunktív egyesülés . Két halmaz közötti szimmetrikus különbség olyan elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban vannak, de nem metszéspontjában. A két A és B halmaz közötti szimmetrikus különbséget a A D B vagy A ? B .

Ezt példákon keresztül érthetjük meg.

Példa1 Tegyük fel, hogy két halmaz van néhány elemmel.

A halmaz = {1, 2, 3, 4, 5}

B halmaz = {3, 5}

Tehát az adott A és B halmazok közötti szimmetrikus különbség {1, 2, 4}

Vagy mondhatjuk ezt A Δ B = {1, 2, 4} .

Példa2 Tegyük fel, hogy két halmaz van néhány elemmel.

A halmaz = {a, b, c, k, m, n}

B halmaz = {c, n}

Tehát az adott A és B halmazok közötti szimmetrikus különbség {a, b, k, m}

Vagy mondhatjuk ezt A Δ B = {a, b, k, m} .

Az alábbi Venn-diagramon láthatjuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget.

A fenti Venn-diagramban a bőrszínnel árnyékolt rész az adott halmazok közötti szimmetrikus különbség, azaz A D B .

Nézzük meg a két halmaz közötti szimmetrikus különbség néhány tulajdonságát.

Tulajdonságok

A szimmetrikus különbségnek van néhány tulajdonsága, amelyeket az alábbiak szerint sorolunk fel;

• A szimmetrikus különbség mindkét relatív komplementer uniójaként ábrázolható, azaz
  A Δ B = (A / B) ∪ (B / A)
• A két halmaz közötti szimmetrikus különbség úgy is kifejezhető, hogy két halmaz uniója mínusz a köztük lévő metszéspont -
  A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
• A szimmetrikus különbség kommutatív és asszociatív -
  A Δ B = B Δ A
  (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Az üres halmaz semleges (a matematikában a semleges elemet egy speciális elemtípusnak nevezik, amelyet a halmaz bármely elemével kombinálva bináris művelet végrehajtására változatlanul hagyja az elemet. Más néven: Identitás elem ).
  A Δ ∅ = A
  A Δ A = ∅
• Ha az A halmaz egyenlő B halmazzal, akkor a két halmaz közötti szimmetrikus különbség -
  A Δ B = ∅ {amikor A = B}

„Két halmaz közötti szimmetrikus különbség” v/s „Két halmaz közötti különbség”

Különbség a két készlet között

Két A és B halmaz közötti különbség az A-hoz tartozó, de B-hez nem tartozó elemek halmaza, és a A-B .

Példa: Legyen A = {1, 2, 3, 4}

és B = {3, 4, 5, 6}

akkor A - B = {3, 4} és B - A = {5, 6}

Szimmetrikus különbség két halmaz között

A szimmetrikus különbség két halmaz, A és B között, az a halmaz, amely tartalmazza az A-ban vagy B-ben szereplő összes elemet, de mindkettőben nem. Ezt képviseli A D B vagy A ? B .

Példa: Legyen A = {1, 2, 3, 4}

és B = {3, 4, 5, 6}

akkor A Δ B = {1, 2, 5, 6}

Most pedig lássunk néhány példát, hogy jobban megértsük a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget.

1. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {10, 15, 17, 19, 20} és B = {15, 16, 18} halmazok. Nézze meg az A és B halmaz közötti különbséget, és találja meg a köztük lévő szimmetrikus különbséget is.

Megoldás - Adott,

java szál létrehozása

A = {10, 15, 17, 19, 20}

és B = {15, 16, 18}

A különbség a két készlet között -

A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 17, 19, 20}

A két halmaz közötti szimmetrikus különbség:

A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 16, 17, 18, 19, 20}

2. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {2, 4, 6, 8} és B = {2, 5, 7, 8} halmazok. Határozza meg a B Δ A szimmetrikus különbséget. Rajzolja fel a Venn-diagramot is, amely ábrázolja a két adott halmaz közötti szimmetrikus különbséget.

Megoldás - Adott, A = {2, 4, 6, 8} és B = {2, 5, 7, 8}

Tudjuk, hogy B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

Próbáljuk lépésről lépésre megoldani a kérdést. Tehát az első lépés az A halmaz és a B halmaz uniójának megtalálása.

Ezért (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}

= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

Ezt követően ki kell számítanunk a két halmaz metszéspontját.

(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}

= {2, 8}

Most meg kell találnunk a különbséget az A és B halmazok egyesülése és metszéspontja között, amint az a képletben szerepel,

Tehát (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}

= {4, 5, 6, 7}

Ezért B Δ A = {4, 5, 6, 7}

Ami megegyezik az A Δ B-vel, amint azt fentebb említettük, „A szimmetrikus különbség kommutatív”. Most megmutatjuk a két halmaz közötti szimmetrikus különbséget a Venn-diagramon keresztül.

A Venn-diagramban először két kört rajzolunk, amelyek az A és B halmazt reprezentálják. Ahogy fentebb kiszámítottuk, a két halmaz metszéspontja {2, 8}, ezért ezeket az elemeket a metsző tartományba soroltuk. Ezután felsoroljuk a fennmaradó elemeket a megfelelő halmazkörükben, azaz {4, 6} az A halmazban és {5, 7} a B halmazban. Az elemek elrendezése után a Venn-diagram a következő lesz:

Ha a fenti Venn-diagramot nézzük, van egy U univerzális halmaz. Mind A, mind B halmaz az U univerzális halmaz részhalmaza. A {2, 8} elemek a metsző elemek, tehát a metsző tartományban vannak ábrázolva. A világos narancssárga színű terület a halmazok uniója, kivéve a metsző tartományt. Ez a tartomány az A és B halmaz közötti szimmetrikus különbség, és a következőképpen lesz ábrázolva:

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}

3. kérdés - Tegyük fel, hogy A = {5, 6, 8, 9, 10} és B = {2, 4, 7, 10, 19} halmazok.

Bizonyítsuk be, hogy a szimmetrikus különbség kommutatív a megadott halmazok segítségével.

Megoldás - Adott, A = {5, 6, 8, 9, 10} és B = {2, 7, 8, 9, 10}

Bizonyítani: A Δ B = B Δ A

Vegyél LHS-t,

A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Tehát A Δ B = {2, 5, 6, 7}

Most vegyük az RHS-t

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Tehát B Δ A = {2, 5, 6, 7}

Ezért A Δ B = B Δ A

Ezért a szimmetrikus különbség kommutatív.