Legyen L egy nem-üres halmaz, amely két bináris művelettel zárva, a meet and join, amelyeket ∧ és ∨ jelöl. Ekkor L-t rácsnak nevezzük, ha a következő axiómák teljesülnek, ahol a, b, c elemei L-ben:

1) Kommutatív jog: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Társulási jog:
(a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Abszorpciós törvény: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Kettősség:

A rácsban lévő bármely állítás duálisa (L,∧ ,∨ ) olyan állítás, amelyet ∧ és ∨ felcserélésével kapunk.

Például , a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a duálisa a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Határozott rácsok:

Egy L rácsot korlátos rácsnak nevezünk, ha a legnagyobb eleme 1 és a legkisebb eleme 0.

Példa:

1. Az S halmaz P(S) hatványhalmaza a metszés és az egyesülés műveletei alatt egy korlátos rács, mivel ∅ P(S) legkisebb eleme, S halmaz pedig P(S) legnagyobb eleme.
2. A +ve egész szám halmaza I₊a szokásos ≦ sorrendben nem korlátos rács, mivel rendelkezik a legkisebb elemmel 1, de a legnagyobb elem nem létezik.

A korlátos rácsok tulajdonságai:

Ha L egy korlátos rács, akkor bármely a ∈ L elemre a következő azonosságokkal rendelkezünk:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Tétel: Bizonyítsuk be, hogy minden L = {a véges rács₁,a₂,a₃....a_n} korlátos.

Bizonyíték: Megadtuk a véges rácsot:

L = {a₁,a₂,a₃....a_n}

Így az L rácsok legnagyobb eleme a₁∨ a₂∨ a_{3∨....∨an.}

Továbbá az L rács legkisebb eleme a₁∧ a₂∧a₃∧....∧a_n.

Mivel minden véges rácshoz létezik a legnagyobb és a legkisebb elem. Ezért L korlátos.

attribútum hiba python

Alhálók:

Tekintsünk egy nem üres L részhalmazt₁rács L. Aztán L₁L részrácsának nevezzük, ha L₁maga egy rács, azaz L művelete, azaz a ∨ b ∈ L₁és a ∧ b ∈ L₁amikor egy ∈ L₁és b ∈ L₁.

Példa: Tekintsük az összes +ve egész I rácsát₊az oszthatóság művelete alatt. A rács D_nn > 1 osztói közül az I egy részrácsa₊.

Határozzuk meg D összes részrácsát₃₀amelyek legalább négy elemet tartalmaznak, D₃₀={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Megoldás: A D részrácsai₃₀amelyek legalább négy elemet tartalmaznak, a következők:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Izomorf rácsok:

Két rács L₁és én₂izomorf rácsoknak nevezzük, ha L-ből bijekció van₁L-nek₂azaz f: L₁⟶ L₂, így f (a ∧ b) =f(a) ∧ f(b) és f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Példa: Határozzuk meg, hogy az ábrán látható rácsok izomorfak-e.

Megoldás: ábrán látható rácsok izomorfak. Tekintsük az f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} leképezést. Például f (b ∧ c) = f (a) = 1. legyen f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Elosztó rács:

Egy L rácsot disztributív rácsnak nevezünk, ha L bármely a, b és c elemére megfelel a következő eloszlási tulajdonságoknak:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Ha az L rács nem elégíti ki a fenti tulajdonságokat, akkor nem-elosztó rácsnak nevezzük.

Példa:

1. Az S halmaz P (S) hatványkészlete a metszés és az egyesítés művelete alatt elosztó függvény. Mivel,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   továbbá a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) P(S) bármely a, b és c halmazára.
2. A II. ábrán látható rács disztributív. Mivel kielégíti az 1-ből, 2-ből, 3-ból és 4-ből vett összes rendezett hármas eloszlási tulajdonságait.

Komplementerek és komplementer rácsok:

Legyen L korlátos rács alsó o korláttal és I felső korláttal. Legyen a elem, ha L. Az L-beli x elemet a komplementerének nevezzük, ha a ∨ x = I és a ∧ x = 0

parancs chown

Egy L rácsot komplementernek mondunk, ha L korlátos, és L-ben minden elemnek van komplementere.

Példa: Határozzuk meg a és c komplementerét az ábrán:

Megoldás: A komplementere d. Mivel a ∨ d = 1 és a ∧ d = 0

c komplementere nem létezik. Mivel nem létezik olyan c elem, amelyre c ∨ c'=1 és c ∧ c'= 0.

Moduláris rács:

Egy rácsot (L, ∧,∨) moduláris rácsnak nevezünk, ha a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, amikor a ≦ c.

A rácsok közvetlen terméke:

Legyen (L₁∨₁∧₁)és én₂∨₂∧₂) legyen két rács. Ekkor (L, ∧,∨) a rácsok közvetlen szorzata, ahol L = L₁x L₂amelyben a ∨(join) és ∧(meet) bináris művelet L-en olyan, hogy bármely (a₁,b₁) és (a₂,b₂) L-ben.

(a₁,b₁)∨( a₂,b₂)=(a₁∨₁a₂,b₁∨₂b₂)
és (a₁,b₁) ∧ ( a₂,b₂)=(a₁∧₁a₂,b₁∧₂b₂).

Példa: Tekintsünk egy rácsot (L, ≦), amint az az ábrán látható. ahol L = {1, 2}. Határozza meg a rácsokat (L², ≦), ahol L²=L x L.

Megoldás: A rács (L², ≦) az ábrán látható: