Legyen L egy nem-üres halmaz, amely két bináris művelettel zárva, a meet and join, amelyeket ∧ és ∨ jelöl. Ekkor L-t rácsnak nevezzük, ha a következő axiómák teljesülnek, ahol a, b, c elemei L-ben:
1) Kommutatív jog: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Társulási jog:
(a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Abszorpciós törvény: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Kettősség:
A rácsban lévő bármely állítás duálisa (L,∧ ,∨ ) olyan állítás, amelyet ∧ és ∨ felcserélésével kapunk.
Például , a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a duálisa a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Határozott rácsok:
Egy L rácsot korlátos rácsnak nevezünk, ha a legnagyobb eleme 1 és a legkisebb eleme 0.
Példa:
- Az S halmaz P(S) hatványhalmaza a metszés és az egyesülés műveletei alatt egy korlátos rács, mivel ∅ P(S) legkisebb eleme, S halmaz pedig P(S) legnagyobb eleme.
- A +ve egész szám halmaza I+a szokásos ≦ sorrendben nem korlátos rács, mivel rendelkezik a legkisebb elemmel 1, de a legnagyobb elem nem létezik.
A korlátos rácsok tulajdonságai:
Ha L egy korlátos rács, akkor bármely a ∈ L elemre a következő azonosságokkal rendelkezünk:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Tétel: Bizonyítsuk be, hogy minden L = {a véges rács1,a2,a3....an} korlátos.
Bizonyíték: Megadtuk a véges rácsot:
L = {a1,a2,a3....an}
Így az L rácsok legnagyobb eleme a1∨ a2∨ a3∨....∨an.
Továbbá az L rács legkisebb eleme a1∧ a2∧a3∧....∧an.
Mivel minden véges rácshoz létezik a legnagyobb és a legkisebb elem. Ezért L korlátos.
attribútum hiba python
Alhálók:
Tekintsünk egy nem üres L részhalmazt1rács L. Aztán L1L részrácsának nevezzük, ha L1maga egy rács, azaz L művelete, azaz a ∨ b ∈ L1és a ∧ b ∈ L1amikor egy ∈ L1és b ∈ L1.
Példa: Tekintsük az összes +ve egész I rácsát+az oszthatóság művelete alatt. A rács Dnn > 1 osztói közül az I egy részrácsa+.
Határozzuk meg D összes részrácsát30amelyek legalább négy elemet tartalmaznak, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Megoldás: A D részrácsai30amelyek legalább négy elemet tartalmaznak, a következők:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Izomorf rácsok:
Két rács L1és én2izomorf rácsoknak nevezzük, ha L-ből bijekció van1L-nek2azaz f: L1⟶ L2, így f (a ∧ b) =f(a) ∧ f(b) és f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Példa: Határozzuk meg, hogy az ábrán látható rácsok izomorfak-e.
Megoldás: ábrán látható rácsok izomorfak. Tekintsük az f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} leképezést. Például f (b ∧ c) = f (a) = 1. legyen f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Elosztó rács:
Egy L rácsot disztributív rácsnak nevezünk, ha L bármely a, b és c elemére megfelel a következő eloszlási tulajdonságoknak:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Ha az L rács nem elégíti ki a fenti tulajdonságokat, akkor nem-elosztó rácsnak nevezzük.
Példa:
- Az S halmaz P (S) hatványkészlete a metszés és az egyesítés művelete alatt elosztó függvény. Mivel,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
továbbá a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) P(S) bármely a, b és c halmazára. - A II. ábrán látható rács disztributív. Mivel kielégíti az 1-ből, 2-ből, 3-ból és 4-ből vett összes rendezett hármas eloszlási tulajdonságait.
Komplementerek és komplementer rácsok:
Legyen L korlátos rács alsó o korláttal és I felső korláttal. Legyen a elem, ha L. Az L-beli x elemet a komplementerének nevezzük, ha a ∨ x = I és a ∧ x = 0
parancs chown
Egy L rácsot komplementernek mondunk, ha L korlátos, és L-ben minden elemnek van komplementere.
Példa: Határozzuk meg a és c komplementerét az ábrán:
Megoldás: A komplementere d. Mivel a ∨ d = 1 és a ∧ d = 0
c komplementere nem létezik. Mivel nem létezik olyan c elem, amelyre c ∨ c'=1 és c ∧ c'= 0.
Moduláris rács:
Egy rácsot (L, ∧,∨) moduláris rácsnak nevezünk, ha a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, amikor a ≦ c.
A rácsok közvetlen terméke:
Legyen (L1∨1∧1)és én2∨2∧2) legyen két rács. Ekkor (L, ∧,∨) a rácsok közvetlen szorzata, ahol L = L1x L2amelyben a ∨(join) és ∧(meet) bináris művelet L-en olyan, hogy bármely (a1,b1) és (a2,b2) L-ben.
(a1,b1)∨( a2,b2)=(a1∨1a2,b1∨2b2)
és (a1,b1) ∧ ( a2,b2)=(a1∧1a2,b1∧2b2).
Példa: Tekintsünk egy rácsot (L, ≦), amint az az ábrán látható. ahol L = {1, 2}. Határozza meg a rácsokat (L2, ≦), ahol L2=L x L.
Megoldás: A rács (L2, ≦) az ábrán látható:
