Tegyük fel, hogy két képlet létezik, X és Y. Ezeket a képleteket ekvivalenciaként ismerjük, ha X ↔ Y tautológia. Ha két X ↔ Y képlet tautológia, akkor felírhatjuk X ⇔ Y alakban is, és ezt az összefüggést úgy is olvashatjuk, hogy X ekvivalenciája Y-val.

Megjegyzés: Van néhány pont, amelyet szem előtt kell tartanunk a képlet lineáris ekvivalenciája során, amelyek leírása a következő:

• A ⇔ csak szimbólumot jelöl, de nem kapcsolódni képes.
• X és Y igazságértéke mindig egyenlő lesz, ha X ↔ Y tautológia.
• Az ekvivalenciareláció két tulajdonságot tartalmaz, azaz szimmetrikus és tranzitív.

1. módszer: Igazságtábla módszer:

Ebben a módszerben megszerkesztjük bármely két állításból álló képlet igazságtáblázatát, majd ellenőrizzük, hogy ezek az állítások ekvivalensek-e.

1. példa: Ebben a példában be kell bizonyítanunk, hogy X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Megoldás: Az X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) igazságtáblázatát a következőképpen írjuk le:

Amint látjuk, X ∨ Y és ¬(¬X ∧ ¬Y) tautológia. Ezért X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

2. példa: Ebben a példában be kell bizonyítanunk (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Megoldás: Az (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) igazságtáblázatát a következőképpen írjuk le:

Amint látjuk, X → Y és (¬X ∨ Y) tautológia. Ezért (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Egyenértékűségi képlet:

Különféle törvények használhatók az ekvivalenciaképlet bizonyítására, amelyet a következőképpen írunk le:

Idempotens törvény: Ha van egy állítási képlet, akkor az a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Társulási jog: Ha három állítási képlet van, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Kommutatív jog: Ha két állítási képlet van, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Elosztási törvény: Ha három állítási képlet van, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

karakterlánc keresése c++

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Személyazonossági törvény: Ha van egy állítási képlet, akkor az a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Kiegészítő törvény: Ha van egy állítási képlet, akkor az a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Abszorpciós törvény: Ha két állítási képlet van, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Morgan törvényéből: Ha két állítási képlet van, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

2. módszer: Cserefolyamat

Ebben a módszerben egy A : X → (Y → Z) képletet feltételezünk. Az Y → Z képlet a képlet részeként ismert. Ha a képletnek ezt a részét, azaz az Y → Z-t lecseréljük a ¬Y ∨ Z ekvivalenciaformulával A-ban, akkor egy másik képletet kapunk, azaz B : X → (¬Y ∨ Z). Könnyen ellenőrizhető, hogy a megadott A és B képletek ekvivalensek-e egymással vagy sem. A cserefolyamat segítségével B-t kaphatunk A-ból.

1. példa: Ebben a példában bizonyítanunk kell, hogy {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Megoldás: Itt fogjuk a bal oldali részt, és megpróbáljuk megszerezni a jobb oldali részt.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Most a következőképpen fogjuk használni az asszociatív törvényt:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Most a következőképpen fogjuk használni De Morgan törvényét:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Ezért bebizonyosodott

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

2. példa: Ebben a példában bizonyítanunk kell, hogy {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Megoldás: Itt fogjuk a bal oldali részt, és megpróbáljuk megszerezni a jobb oldali részt.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Ezért bebizonyosodott

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

3. példa: Ebben a példában bizonyítanunk kell, hogy X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Megoldás: Itt fogjuk a bal oldali részt, és megpróbáljuk megszerezni a jobb oldali részt.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Ezért bebizonyosodott

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

4. példa: Ebben a példában be kell bizonyítanunk, hogy (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Megoldás: Itt fogjuk a bal oldali részt, és megpróbáljuk megszerezni a jobb oldali részt.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Most az asszociatív és eloszlási törvényeket fogjuk használni, így:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Most a következőképpen fogjuk használni De Morgan törvényét:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Most az elosztási törvényt így fogjuk használni:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Ezért bebizonyosodott

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

5. példa: Ebben a példában meg kell mutatnunk, hogy az ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) tautológia.

Megoldás: Itt kis részeket veszünk és megoldjuk őket.

Először De Morgan törvényét használjuk, és a következőket kapjuk:

indiai színésznő, Rani Mukerji

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Ebből adódóan,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Is

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Ennélfogva

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

És így

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Ezért azt mondhatjuk, hogy az adott formula tautológia.

6. példa: Ebben a példában meg kell mutatnunk, hogy (X ∧ Y) → (X ∨ Y) tautológia.

Megoldás: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Most a következőképpen fogjuk használni De Morgan törvényét:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Most a következőképpen fogjuk használni az asszociatív törvényt és a kommutatív törvényt:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Most a tagadás törvényét a következőképpen fogjuk használni:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Ezért azt mondhatjuk, hogy az adott formula tautológia.

7. példa: Ebben a példában meg kell írnunk néhány állítás tagadását, amelyek leírása a következő:

1. Marry befejezi tanulmányait, vagy elfogadja az XYZ Company csatlakozási levelét.
2. Harry holnap elmegy lovagolni vagy futni.
3. Ha jó jegyeket kapok, az unokatestvérem féltékeny lesz.

Megoldás: Először az első állítást a következőképpen oldjuk meg:

1. Tegyük fel, hogy X: Marry befejezi tanulmányait.

Y: Fogadja el az XYZ Company csatlakozási levelét.

A következő szimbolikus formát használhatjuk ennek az állításnak a kifejezésére:

 X ∨ Y 

X ∨ Y tagadása a következőképpen írható le:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Végezetül az adott állítás tagadása a következő lesz:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Tegyük fel, hogy X: Harry elmegy egy kört

Y: Harry holnap futni fog

A következő szimbolikus formát használhatjuk ennek az állításnak a kifejezésére:

 X ∨ Y 

X ∨ Y tagadása a következőképpen írható le:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Végezetül az adott állítás tagadása a következő lesz:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Tegyük fel X: Ha jó jegyeket kapok.

Y: Az unokatestvérem féltékeny lesz.

A következő szimbolikus formát használhatjuk ennek az állításnak a kifejezésére:

 X → Y 

Az X → Y tagadása a következőképpen írható le:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Végezetül az adott állítás tagadása a következő lesz:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

8. példa: Ebben a példában néhány állítás tagadását kell felírnunk De Morgan törvénye segítségével. Ezeket a kijelentéseket a következőképpen írjuk le:

1. Egy gyémánt készletre van szükségem, és megér egy aranygyűrűt.
2. Jó munkát kapsz, vagy nem lesz jó partnered.
3. Sok munkát vállalok, és nem bírom.
4. A kutyám kirándulni megy, vagy rendetlenséget csinál a házban.

Megoldás: Az összes állítás tagadását De Morgan törvénye segítségével egyenként így írjuk le:

1. Nincs szükségem gyémánt készletre, vagy nem ér egy aranygyűrűt.
2. Nem kaphatsz jó munkát, és kapsz egy jó partnert.
3. Nem vállalok sok munkát, vagy bírom.
4. A kutyám nem megy kirándulni, és nem csinál rendetlenséget a házban.

9. példa: Ebben a példában van néhány állításunk, és meg kell írnunk ezen állítások tagadását. Az állítások leírása a következő:

1. Ha esik az eső, akkor a strandolási terv elmarad.
2. Ha keményen tanulok, akkor jó jegyeket kapok a vizsgán.
3. Ha elmegyek egy késő esti buliba, akkor apám büntetést kap.
4. Ha nem akar velem beszélni, akkor le kell tiltania a számomat.

Megoldás: Az összes állítás tagadása a következőképpen írható le egyenként:

1. Ha a strandolási tervet lemondják, akkor esik az eső.
2. Ha jó jegyeket kapok a vizsgán, akkor keményen tanulok.
3. Ha megbüntet az apám, akkor elmegyek egy késő esti buliba.
4. Ha le kell tiltania a számomat, akkor nem akar velem beszélni.

10. példa: Ebben a példában ellenőriznünk kell, hogy (X → Y) → Z és X → (Y → Z) logikailag egyenértékűek-e vagy sem. Válaszunkat igazságtáblázatok és logikai szabályok segítségével kell igazolnunk, hogy mindkét kifejezést leegyszerűsítsük.

Megoldás: Először az 1. módszerrel ellenőrizzük, hogy (X → Y) → Z és X → (Y → Z) logikailag egyenértékűek-e, amit a következőképpen írunk le:

hogyan válasszunk oszlopokat különböző táblákból sql-ben

1. módszer: Itt a következőket feltételezzük:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

És

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

2. módszer: Most a második módszert fogjuk használni. Ebben a módszerben az igazságtáblázatot fogjuk használni.

Ebben az igazságtáblázatban láthatjuk, hogy az (X → Y) → Z és az X → (Y → Z) oszlopai nem tartalmaznak azonos értékeket.