Heves, tompa, egyenlő szárú, egyenlő oldalú… Ha háromszögekről van szó, sokféle változat létezik, de csak néhány „különleges”. Ezeknek a speciális háromszögeknek oldalai és szögei következetesek és kiszámíthatóak, és használhatók a geometriai vagy trigonometriai problémák áthidalására. És egy 30-60-90 háromszög – ejtsd: „thirty sixty ninety” – történetesen egy nagyon különleges háromszögtípus.

Ebben az útmutatóban végigvezetjük, mi az a 30-60-90 háromszög, miért működik, és mikor (és hogyan) használja fel tudását róla. Térjünk tehát rá!

Mi az a 30-60-90 háromszög?

A 30-60-90 háromszög egy speciális derékszögű háromszög (a derékszögű háromszög bármely olyan háromszög, amely 90 fokos szöget tartalmaz), amelynek fokszöge mindig 30 fok, 60 fok és 90 fok. Mivel ez egy speciális háromszög, oldalhosszértékei is vannak, amelyek mindig konzisztens kapcsolatban állnak egymással.

Az alap 30-60-90 háromszög arány:

A 30°-os szöggel ellentétes oldal: $x$

A 60°-os szöggel ellentétes oldal: $x * √3$

A 90°-os szöggel ellentétes oldal: x$

Például egy 30-60-90 fokos háromszög oldalhossza a következő:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

youtube videó mentése vlc

(Miért a hosszabb láb 3? Ebben a háromszögben a legrövidebb láb ($x$) $√3$, tehát a hosszabb láb esetében $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. És a hypotenusa a legrövidebb láb kétszerese, vagyis √3$)

Stb.

Mindig a 30°-os szöggel ellentétes oldal a legkisebb , mert a 30 fok a legkisebb szög. A 60°-os szöggel ellentétes oldal lesz a középső hossz , mert a 60 fok a közepes méretű fokszög ebben a háromszögben. És végül mindig a 90°-os szöggel ellentétes oldal lesz a legnagyobb oldal (a hipotenúza) mert a 90 fok a legnagyobb szög.

Bár hasonlónak tűnhet más típusú derékszögű háromszögekhez, a 30-60-90 háromszög különlegessége az, hogy mindössze három információra van szüksége ahhoz, hogy minden más mérést megtaláljon. Mindaddig, amíg ismeri két szögmérték és egy oldalhossz értékét (nem számít, melyik oldal), mindent tud, amit tudnia kell a háromszögről.

Például használhatjuk a 30-60-90 háromszög képletet az alábbi háromszögek összes fennmaradó üres adatának kitöltésére.

1. példa

Láthatjuk, hogy ez egy derékszögű háromszög, amelyben a hipotenusz kétszerese az egyik lábnak. Ez azt jelenti, hogy ennek egy 30-60-90-es háromszögnek kell lennie, és a megadott kisebb oldal a 30°-kal szemben van.

A hosszabb lábnak ezért a 60°-os szöggel szemben kell lennie, és mérete * √3 $ vagy √3 $.

2. példa

Linux fájl módosítása

Láthatjuk, hogy ennek egy 30-60-90-es háromszögnek kell lennie, mert láthatjuk, hogy ez egy derékszögű háromszög egy adott mérettel, 30°-kal. A jelöletlen szögnek ekkor 60°-nak kell lennie.

Mivel a 18 a 60°-os szöggel ellentétes mérték, egyenlőnek kell lennie $x√3$-val. A legrövidebb lábnak ekkor 18 USD/√3 USD méretűnek kell lennie.

(Ne feledje, hogy a láb hossza valójában /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, mert a nevező nem tartalmazhat gyököt/négyzetgyököt).

És a hipotenúza (18/√3)$ lesz

(Megjegyzendő, hogy ismét nem lehet gyök a nevezőben, így a végső válasz valóban a √3$ => √3$ lábhosszának kétszerese lesz).

3. példa

Ismét két szögmérést kapunk (90° és 60°), így a harmadik mérték 30° lesz. Mivel ez egy 30-60-90-es háromszög és a hipotenusz 30, a legrövidebb szár 15, a hosszabb szár pedig 15√3 lesz.

Nem kell konzultálnia a varázslatos nyolcas labdával – ezek a szabályok mindig működnek.

Miért működik: 30-60-90 háromszögtétel bizonyítása

De miért működik ez a különleges háromszög úgy, ahogy? Honnan tudjuk, hogy ezek a szabályok törvényesek? Nézzük meg pontosan, hogyan működik a 30-60-90 háromszög tétel, és bizonyítsuk be, hogy ezek az oldalhosszak miért lesznek mindig konzisztensek.

Először egy pillanatra felejtsük el a derékszögű háromszögeket, és nézzünk meg egy egyenlő oldalú háromszög.

Az egyenlő oldalú háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala és szöge egyenlő. Mivel a háromszög belső szögei mindig 180°-ot adnak, és 0/3 = 60 $, egy egyenlő oldalú háromszögnek mindig három 60°-os szöge lesz.

bal oldali csatlakozás vs jobb csatlakozás

Most ejtsünk le egy magasságot a legfelső szögtől a háromszög alapjáig.

Most megvan két derékszöget és két egybevágó (egyenlő) háromszöget hozott létre.

Honnan tudjuk, hogy egyenlő háromszögek? Mert egy magasságot ejtettünk egy egyenlő oldalú háromszög, az alapot pontosan kettéosztottuk. Az új háromszögek egy oldalhosszúságon (a magasságon) is osztoznak, és mindegyiküknek azonos a hipotenusz hossza. Mivel három közös oldalhosszon (SSS) osztoznak, ez azt jelenti a háromszögek egybevágóak.

Megjegyzés: nem csak a két háromszög egybevágó az oldal-oldal-oldal hosszúság vagy SSS elve alapján, hanem az oldalszög-oldal méréseken (SAS), a szög-szög-oldal (AAS) és a szög-oldalon is. oldalszög (ASA). Alapvetően? Határozottan egybevágóak.

Most, hogy bebizonyítottuk a két új háromszög egybevágóságát, láthatjuk, hogy a felső szögeknek 30 fokkal kell egyenlőnek lenniük (mert mindegyik háromszögnek már van 90°-os és 60°-os szöge, és össze kell adniuk 180°-ot). Ez azt jelenti, hogy két 30-60-90-es háromszöget készítettünk.

És mivel tudjuk, hogy az egyenlő oldalú háromszög alapját kettévágjuk, láthatjuk, hogy minden 30-60-90-es háromszögünk 30°-os szögével ellentétes oldal (a legrövidebb oldal) pontosan a fele a befogó hosszának. .

Tehát nevezzük az eredeti oldalhosszunkat $x$ és a kettévágott hosszunkat $x/2$-nak.

Most már csak meg kell találnunk a középső oldalhosszunkat, amelyen a két háromszög osztozik. Ehhez egyszerűen használhatjuk a Pitagorasz-tételt.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Így marad: $x/2, {x√3}/2, x$

Most szorozzuk meg az egyes mértékeket 2-vel, hogy megkönnyítsük az életet és elkerüljük a törteket. Így maradunk:

$x$, $x√3$, x$

Láthatjuk tehát, hogy egy 30-60-90 háromszög fog mindig következetes oldalhosszúságuk $x$, $x√3$ és x$ (vagy $x/2$, ${√3x}/2$ és $x$).

Szerencsére 30-60-90 háromszögszabályt be tudjuk bizonyítani mindezek nélkül...

Mikor kell használni 30-60-90 háromszögszabályokat

A 30-60-90 háromszögszabályok ismerete időt és energiát takaríthat meg számtalan matematikai feladaton, nevezetesen sokféle geometriai és trigonometriai feladaton.

Geometria

A 30-60-90 háromszögek megfelelő megértése lehetővé teszi olyan geometriai kérdések megoldását, amelyeket vagy lehetetlen lenne megoldani ezen arányszabályok ismerete nélkül, vagy legalábbis jelentős időt és erőfeszítést igényelne a „hosszú út” megoldása.

A speciális háromszög-arányokkal kitalálhatja a hiányzó háromszög magasságát vagy lábhosszát (anélkül, hogy a Pitagorasz-tételt kellene használnia), megkeresheti a háromszög területét a hiányzó magassági vagy alaphossz-információkkal, és gyorsan kiszámíthatja a kerületeket.

kőműves képlet

Bármikor, amikor gyorsaságra van szüksége egy kérdés megválaszolásához, hasznos lesz megjegyezni az olyan parancsikonokat, mint a 30-60-90 szabály.

Trigonometria

A 30-60-90 háromszögarány memorizálása és megértése számos trigonometriai feladat megoldását is lehetővé teszi anélkül, hogy akár számológépre lenne szükség, akár tízes számmal közelítené a válaszait.

A 30-60-90 háromszögnek meglehetősen egyszerű szinuszai, koszinuszai és érintői vannak minden szöghez (és ezek a mérések mindig konzisztensek lesznek).

A 30°-os szinusz mindig /2$ lesz.

A 60°-os koszinusz mindig 1/2 dollár lesz.

Bár a többi szinusz, koszinusz és érintő meglehetősen egyszerű, ez a kettő a legkönnyebben megjegyezhető, és valószínűleg megjelenik a teszteken. Tehát ezen szabályok ismerete lehetővé teszi, hogy a lehető leggyorsabban megtalálja ezeket a trigonometriai méréseket.

Tippek a 30-60-90 szabályok emlékezéséhez

Tudod, hogy ezek a 30-60-90 arányos szabályok hasznosak, de hogyan tudod a fejedben tartani az információt? Emlékezni a 30-60-90 háromszög szabályaira annyi, hogy emlékezzünk az 1:√3 :2 arányra, és tudjuk, hogy a legrövidebb oldalhossz mindig a legrövidebb szöggel (30°), a leghosszabb oldalhossz pedig mindig ellentétes a legnagyobb szög (90°).

Vannak, akik úgy memorizálják az arányt, hogy azt gondolják: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' mert az '1, 2, 3' egymásutánt általában könnyű megjegyezni. Ennek a technikának az egyetlen óvintézkedése, hogy ne feledje, hogy a leghosszabb oldal valójában a x$, nem a $x$-szor $√3$.

Az arányok emlékezésének másik módja az, hogy használj emlékezetes szójátékot az 1: gyökér 3:2 arányban a megfelelő sorrendben. Például: „Jackie Mitchell kiütötte Lou Gehriget, és „Ruthyt is megnyerte”: egy, három gyökér, kettő. (És ez egy igazi baseballtörténeti tény!)

Játsszon a saját emlékező eszközeivel, ha ezek nem tetszenek Önnek – énekelje el a dalt, keresse meg a saját „egy, három gyökér, kettő” kifejezést, vagy álljon elő egy arányos verssel. Emlékezz arra is, hogy egy 30-60-90-es háromszög fél egyenlő oldalú, és onnan találod ki a méreteket, ha nem szereted megjegyezni őket.

Azonban érdemes megjegyezni ezeket a 30-60-90 szabályokat, és tartsa meg ezeket az arányokat a jövőbeli geometriai és trigonometriai kérdésekhez.

A memorizálás a barátod, de meg tudod valósítani.

Példa 30-60-90 Kérdések

Most, hogy megvizsgáltuk a 30-60-90 háromszögek hogyan és miértjét, dolgozzunk végig néhány gyakorlati problémán.

Geometria

Egy építőmunkás egy 40 láb magas létrát az épület oldalához támaszt, a talajhoz képest 30 fokos szögben. A talaj vízszintes, az épület oldala pedig merőleges a talajra. Milyen messzire ér fel az épületben a létra, a legközelebbi lábig?

A 30-60-90 speciális háromszögszabályaink ismerete nélkül trigonometriával és számológéppel kellene megoldást találnunk erre a problémára, mivel a háromszögnek csak egy oldalmérete van. De mivel tudjuk, hogy ez a különleges háromszög, pillanatok alatt megtaláljuk a választ.

Ha az épület és a talaj merőleges egymásra, ez azt jelenti, hogy az épület és a talaj derékszöget (90°) zár be. Az is adott, hogy a létra 30°-os szögben találkozik a talajjal. Láthatjuk tehát, hogy a fennmaradó szögnek 60°-nak kell lennie, ami 30-60-90-es háromszöget ad.

Most már tudjuk, hogy ennek a 30-60-90-nek a hypotenusa (leghosszabb oldala) 40 láb, ami azt jelenti, hogy a legrövidebb oldal fele akkora hosszúságú lesz. (Ne feledje, hogy a leghosszabb oldal mindig kétszerese – x$ – olyan hosszú, mint a legrövidebb oldal.) Mivel a legrövidebb oldal ellentétes a 30°-os szöggel, és ez a szög a létra fokmérője a talajtól, ez azt jelenti, hogy a létra teteje 20 méterrel a talajtól ütközik az épületbe.

A végső válaszunk 20 láb.

Diana Ankudinova

Trigonometria

Ha egy derékszögű háromszögben sin Θ = /2$, és a legrövidebb szár hossza 8. Mekkora a hiányzó oldal, amely NEM a hipotenusz?

Mivel ismeri a 30-60-90 szabályait, meg tudja oldani ezt a problémát a Pitagorasz-tétel vagy a számológép nélkül.

Azt mondták nekünk, hogy ez egy derékszögű háromszög, és a speciális derékszögű háromszög szabályainkból tudjuk, hogy a szinusz 30° = /2$. A hiányzó szögnek ezért 60 fokosnak kell lennie, így ez egy 30-60-90-es háromszög.

És mivel ez egy 30-60-90-es háromszög, és azt mondták nekünk, hogy a legrövidebb oldal a 8, a hipotenusznak 16-nak kell lennie, a hiányzó oldalnak pedig * √3 $ vagy √3 $.

A végső válaszunk 8√3.

Az elvihető

Emlékezve a A 30-60-90-es háromszögekre vonatkozó szabályok segítenek a különféle matematikai feladatok gyorsításában . De ne feledje, hogy bár ezeknek a szabályoknak a ismeretében praktikus eszköz az övben tartani, a legtöbb problémát ezek nélkül is megoldhatja.

Kövesse nyomon a $x$, $x√3$, x$ és 30-60-90 szabályait bármilyen módon, ami az Ön számára értelmes, és próbálja meg betartani azokat, ha teheti, de ne essen pánikba, ha gondolja. eltünteti, ha eljön a roppanás ideje. Akárhogy is, ez megvan.

És ha több gyakorlásra van szüksége, nézze meg ezt 30-60-90 háromszög kvíz . Jó vizsgázást!