táblázat reagál
Ha trig-et vagy kalkulust tanul – vagy arra készül –, meg kell ismerkednie az egységkörrel. Az egységkör az nélkülözhetetlen eszköz a szög szinuszának, koszinuszának és érintőjének megoldására. De hogyan működik? És milyen információkat kell tudni a használatához?
Ebben a cikkben elmagyarázzuk, mi az egységkör, és miért érdemes tudnia. Három tippet is adunk, amelyek segítenek emlékezni az egységkör használatára.
Funkció képe: Gustavb /Wikimedia
Az egységkör: Alapvető bevezető
Az egységkör egy 1 sugarú kör. Ez azt jelenti, hogy a kör középpontjától a kör széle mentén lévő bármely pontig húzott bármely egyenes esetén annak az egyenesnek a hossza mindig 1 lesz. (Ez azt is jelenti, hogy a kör átmérője 2 lesz, mivel az átmérő megegyezik a sugár hosszának kétszeresével.)
Jellemzően az egységkör középpontja az x tengely és az y tengely metszéspontja, vagy a koordinátákon (0, 0):
Az egységkört vagy más néven trig kört hasznos tudni, mert segítségével könnyen kiszámíthatjuk a 0° és 360° (vagy 0 és 2π radián) közötti bármely szög koszinuszát, szinuszát és tangensét.
Amint a fenti diagramon látható, ha bármilyen szögben megrajzol egy sugarat (a képen ∝ jelöli), akkor derékszögű háromszöget hoz létre. Ezen a háromszögön a koszinusz a vízszintes, a szinusz pedig a függőleges vonal. Más szavakkal, koszinusz =x-koordináta, és szinusz = y-koordináta. (A háromszög leghosszabb vonala vagy hipotenusza a sugara, ezért egyenlő 1-gyel.)
Miért fontos mindez? Ne feledje, hogy a háromszög oldalainak hosszát meg tudja oldani a Pitagorasz-tétel, vagy $a^2+b^2=c^2$ (amiben a és b a háromszög oldalainak hossza, és c a hypotenus hossza).
Tudjuk, hogy egy szög koszinusza egyenlő a vízszintes vonal hosszával, a szinusz egyenlő a függőleges vonal hosszával, és a hipotenusz egyenlő 1-gyel. Ezért azt mondhatjuk, hogy az egységkör bármely derékszögű háromszögének képlete a következő:
$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$
Mivel ^2=1$, ezt az egyenletet így egyszerűsíthetjük:
$$cos^2θ+sin^2θ=1$$
Legyen tudatában annak ezek az értékek negatívak is lehetnek attól függően, hogy mekkora szög alakul ki és milyen kvadránsba esnek az x- és y-koordináták (ezt később részletesen kifejtem).
Íme az egységkör összes főbb szögének áttekintése fokban és radiánban:
Egységkör – fokok
Egységkör – radián
De mi van, ha nincs háromszög? Nézzük mi történik, ha a szög 0°, és vízszintes egyenest hoz létre az x tengely mentén:
Ezen a vonalon az x koordináta 1, az y koordináta pedig 0. Tudjuk, hogy a koszinusz egyenlő az x-koordinátával, a szinusz pedig az y-koordinátával, így ezt írhatjuk:
- $cos0°=1$
- $sin0°=0$
Mi van ha a szög 90°, és tökéletesen függőleges vonalat képez az y tengely mentén?
Itt láthatjuk, hogy az x-koordináta egyenlő 0-val, az y-koordináta pedig 1-gyel. Ez a következő értékeket adja a szinuszra és a koszinuszra:
- $cos90°=0$
- $sin90°=1$
Ez a szlogen határozottan érvényes, ha nem vagy a matematika szerelmese.
tömb lista
Miért érdemes ismerni az egységkört
Mint fentebb említettük, az egységkör hasznos, mert lehetővé teszi, hogy könnyen megoldjuk a tetszőleges fok vagy radián szinuszát, koszinuszát vagy érintőjét. Különösen hasznos az egységkör diagram ismerete, ha matematikai házi feladathoz bizonyos trig értékeket kell megoldania, vagy ha számítástechnikai tanulmányozásra készül.
De hogyan segíthet pontosan az egységkör ismerete? Tegyük fel, hogy a következő feladatot kapod egy matematikai vizsgán – és az is nem Számológép használata megengedett a megoldáshoz:
$$sin30°$$
hol kezded? Vessünk egy pillantást ismét az egységkör diagramra – ezúttal az összes fő szöggel (fokban és radiánban egyaránt) és a megfelelő koordinátákkal:
Jim.belk /Wikimedia
Ne ess túlzásba! Ne feledje, mindössze $sin30°$-ért kell megoldania. Ha megnézzük ezt a diagramot, ezt láthatjuk az y-koordináta 30°-nál egyenlő: /2$. És mivel az y-koordináta szinusz, a válaszunk a következő:
$$sin30°=1/2$$
De mi van, ha olyan problémát kap, amely radiánokat használ fokok helyett? A megoldás folyamata továbbra is ugyanaz. Tegyük fel például, hogy a következőképpen néz ki problémát:
$$cos{{3π}/4}$$
Ismét a fenti diagramot használva láthatjuk, hogy az x-koordináta (vagy koszinusz) ${3π}/4$ (ami egyenlő 135°-kal) $-{√2}/2$. A problémára adott válaszunk így nézne ki:
$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$
Mindez nagyon egyszerű, ha a fenti egységkör diagramot használja referenciaként. De legtöbbször (ha nem minden esetben) ez nem így lesz, és az ilyen típusú matematikai kérdésekre csak az agyad segítségével kell válaszolnod.
Tehát hogyan emlékezhet az egységkörre? Olvassa el legfontosabb tippjeinket!
Hogyan emlékezzünk az egységkörre: 3 alapvető tipp
Ebben a részben a legfontosabb tippjeinket adjuk meg, hogyan emlékezzen a trig körre, így könnyedén használhatja bármilyen matematikai feladathoz, amely ezt igényli.
Nem javaslom az egységkör gyakorlását post-itekkel, de hát, ez egy kezdet.
#1: Jegyezze meg a közös szögeket és koordinátákat
Az egységkör hatékony használatához szüksége lesz rá memorizálja a leggyakoribb szögeket (fokban és radiánban egyaránt), valamint a hozzájuk tartozó x- és y-koordinátákat.
A fenti diagram egy hasznos egységkördiagram, amelyet érdemes megnézni, mivel az összes főbb szöget fokban és radiánban is tartalmazza, az x- és y-tengely mentén lévő megfelelő koordinátapontokon kívül.
Itt van egy diagram, amely ugyanezeket az információkat táblázatos formában sorolja fel:
| Szög (fok) | Szög (radián) | Pont koordinátái a körön |
| 0° / 360° | 0/2p | (1, 0) |
| 30° | $p/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $p/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $p/3$ | $(1/2,{√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | ${2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | ${3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | Pi | (-1, 0) |
| 210° | /6$ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | ${5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | ${4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | ${3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | ${5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | ${7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | ${11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Nos, bár több mint szívesen megpróbálja megjegyezni ezeket a koordinátákat és szögeket, ez így van nagyon emlékeznivalókról.
Szerencsére van egy trükk, amellyel emlékezhet az egységkör legfontosabb részeire.
Nézze meg a fenti koordinátákat, és egyértelmű mintát fog látni: minden pont (kivéve a 0°, 90°, 270° és 360°-os szögeket) csak három érték váltakozik (akár pozitív, akár negatív):
- /2$
- ${√2}/2$
- ${√3}/2$
Minden érték megfelel a rövid, közepes vagy hosszú vonal a koszinuszhoz és a szinuszhoz egyaránt:
Íme, mit jelentenek ezek a hosszúságok:
- 30° / $p/
- 45° / $p/4$
- 60° / $p/3$
- $sin45°$
- $cos240°$
- $cos{5π}/3$
- $ an{2π}/3$
- ${√2}/2$
- -1/2 $
- /2$
- $-√3 $
- A 45°-os szög létrehozza egy közepes hosszúságú függőleges vonal (értük)
- A 240°-os szög létrehozza egy rövid vízszintes vonal (koszinuszhoz)
Például, ha megpróbálja megoldani a $cos{π/3}$, akkor azonnal tudnia kell, hogy ez a szög (ami egyenlő 60°-kal) egy rövid vízszintes vonal az egységkörön. Ebből adódóan, a megfelelő x-koordinátának /2$-nak kell lennie (pozitív érték, mivel a $π/3$ pontot hoz létre a koordinátarendszer első kvadránsában).
Végül, bár hasznos megjegyezni a fenti táblázatban szereplő összes szöget, vegye figyelembe messze a legfontosabb szempontok, amelyeket érdemes megjegyezni, a következők:
Kezelje negatívjait és pozitívumait úgy, mint azokkal a kábelekkel, amelyek rosszul csatlakoztatva halálosak lehetnek.
#2: Tanulja meg, mi a negatív és mi a pozitív
Nagyon fontos, hogy meg tudd különböztetni a pozitív és negatív x- és y-koordinátákat, hogy megtaláld a megfelelő értéket egy trigger problémához. Emlékeztetőül, Ban ben attól függ, hogy az egységkör koordinátája pozitív vagy negatív lesz melyik kvadránsba (I, II, III vagy IV) esik a pont:
gyári módszer tervezési minta
Íme egy diagram, amely megmutatja, hogy egy koordináta pozitív vagy negatív lesz-e attól a kvadránstól függően, amelyben egy adott szög (fokban vagy radiánban) van:
| Negyedkör | X-koordináta (koszinusz) | Y-koordináta (szinusz) |
| én | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
Tegyük fel például, hogy a következő feladatot kaptad egy matematikai teszten:
$$cos210°$$
Mielőtt még megpróbálná megoldani, fel kell tudnia ismerni, hogy a válasz az lesz negatív szám mivel a 210°-os szög a III. kvadránsba esik (ahol az x koordináták vannak mindig negatív).
Most, az 1. tippben tanult trükk segítségével kitalálhatja, hogy a 210°-os szög hosszú vízszintes vonal. Ezért a válaszunk a következő:
$$cos210°=-{√3}/2$$
#3: Tudja, hogyan kell megoldani a Tangentet
Végül fontos tudni, hogyan kell felhasználni ezeket az információkat a trig körről, valamint a szinuszról és a koszinuszról, hogy oldja meg a szög érintőjét.
A trigben egy θ szög tangensének megtalálásához (fokban vagy radiánban) egyszerűen oszd el a szinust a koszinuszral:
$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$
Tegyük fel például, hogy erre a problémára próbál választ adni:
$$ an300°$$
Az első lépés egy egyenlet felállítása szinusz és koszinusz alapján:
$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$
Most, hogy megoldjuk az érintőt, meg kell találnunk a szinust és 300°-os koszinusz. Gyorsan fel kell tudnia ismerni, hogy a 300°-os szög a negyedik kvadránsba esik, ami azt jelenti a koszinusz vagy x-koordináta pozitív, a szinusz vagy y-koordináta pedig negatív lesz.
Azt is azonnal tudnia kell a 300°-os szög hoz létre egy rövid vízszintes és egy hosszú függőleges vonal. Ezért a koszinusz (a vízszintes vonal) /2$, a szinusz (a függőleges vonal) pedig $-{√3}/2$ (negatív y-érték, mivel ez a pont a IV. kvadránsban van) .
Most, hogy megtalálja az érintőt, csak csatlakoztassa és oldja meg:
$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$ an300°=-√3$$
Ideje dorombolni a matematikai készségeidet!
Egységkör gyakorló kérdéskészlet
Most, hogy tudja, hogyan néz ki az egységkör és hogyan kell használni, teszteljük a tanultakat néhány gyakorlati feladattal.
Kérdések
Válaszok
Válasz Magyarázatok
#1: $sin45°$
Ezzel a problémával kapcsolatban két olyan információ van, amelyet azonnal azonosítania kell:
Mivel a 45° pozitív, közepes hosszúságú vonalat jelez, a helyes válasz az ${√2}/2$.
Ha nem biztos benne, hogyan kell ezt kitalálni, rajzoljon egy diagramot, amely segít meghatározni, hogy a vonal hossza rövid, közepes vagy hosszú lesz.
#2: $cos240°$
A fenti 1. problémához hasonlóan két információt kell gyorsan megragadnia ezzel a problémával kapcsolatban:
Mivel a 240° negatív, rövid vonalat jelez, a helyes válasz az -1/2 $.
gimp cserélje ki a színt
#3: $cos{5π}/3$
A fenti problémákkal ellentétben ez a probléma használ radiánok fokok helyett. Habár így a probléma megoldása bonyolultabbnak tűnhet, a valóságban ugyanazokat az alapvető lépéseket használja, mint a másik két probléma.
Először is fel kell ismernie, hogy a ${5π}/3$ szög a IV. kvadránsban van, tehát az x-koordináta vagy koszinusz pozitív szám. Azt is el kell tudni mondani${5π}/3$létrehozza egy rövid vízszintes vonal.
Ez elegendő információt ad ennek megállapításához a a válasz az /2$.
#4: $ an{2π}/3$
Ez a probléma a szinusz vagy a koszinusz helyett az érintővel foglalkozik, ami azt jelenti, hogy egy kicsit több matematikára lesz szükségünk. Először is, idézd fel az érintő megtalálásának alapképlete:
$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$
Most vegyük a kapott diplomát – ${2π}/3$-és illessze be ebbe az egyenletbe:
$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$
Most már képesnek kell lennie a szinusz és a koszinusz külön-külön történő megoldására az egységkörről megjegyzett adatok felhasználásával. Mivel a ${2π}/3$ szög a II. kvadránsban van, az x-koordináta (vagy koszinusz) negatív, az y-koordináta (vagy szinusz) pedig pozitív lesz.
Ezután már csak a vízszintes vonal szöge alapján kell tudnia meghatározni egy rövid sor, a függőleges vonal pedig az hosszú sor. Ez azt jelenti, hogy a koszinusz egyenlő $-1/2$-val, a szinusz pedig ${√3}/2$.
Most, hogy kitaláltuk ezeket az értékeket, nem kell mást tennünk, mint beilleszteni őket a kezdeti egyenletünkbe, és megoldani az érintőt:
$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$ an {2π}/3=-√3$$
Mi a következő lépés?
Ha hamarosan elvégzi a SAT vagy az ACT vizsgát, ismernie kell néhány triggert, hogy jól teljesítsen a matematikai szakaszon. Tekintse meg szakértői útmutatóinkat a SAT és az ACT elindításához, így megtudhatja, hogy pontosan mit kell tudnia a tesztnapon!
Az egységkör memorizálása mellett, jó ötlet megtanulni, hogyan kell számokat beilleszteni és a válaszokat . Olvassa el útmutatónkat, hogy mindent megtudjon erről a két hasznos stratégiáról, amelyeket bármilyen matematikai teszten használhat – beleértve a SAT és ACT tesztet is!