A predikátumlogika a predikátumokkal foglalkozik, amelyek propozíciók és változókból állnak.

Predikátum logika – definíció

A predikátum egy vagy több változó kifejezése, amely meghatározott tartományban van meghatározva. A változókat tartalmazó predikátum propozícióvá tehető a változó értékének engedélyezésével vagy a változó számszerűsítésével.

• Tekintsük E(x, y) 'x = y'-t
• Tekintsük, hogy X(a, b, c) 'a + b + c = 0'
• Tekintsük M(x, y) 'x házas y-vel'.

Kvantifikátor:

A predikátumok változóját kvantorok számszerűsítik. A predikátumlogikában kétféle kvantor létezik: egzisztenciális kvantor és univerzális kvantor.

Egzisztenciális kvantor:

Ha p(x) egy állítás az U univerzum felett. Akkor ∃x p(x)-ként jelöljük, és így olvassuk: „Létezik legalább egy olyan érték az x változó univerzumában, amelyre p(x) igaz. A ∃ kvantort egzisztenciális kvantornak nevezzük.

Többféleképpen is írhatunk kijelentést egzisztenciális kvantorral, pl.

(∃x∈A)p(x) vagy ∃x∈A úgy, hogy p (x) vagy (∃x)p(x) vagy p(x) igaz valamilyen x ∈A-ra.

Univerzális kvantor:

Ha p(x) egy állítás az U univerzum felett. Akkor ∀x,p(x)-ként jelöljük, és így olvassuk: 'Minden x∈U esetén p(x) igaz.' A ∀ kvantort univerzális kvantornak nevezzük.

Többféleképpen is lehet javaslatot írni, univerzális kvantorral.

∀x∈A,p(x) vagy p(x), ∀x ∈A Vagy ∀x,p(x) vagy p(x) igaz minden x ∈A-ra.

Számszerűsített javaslatok tagadása:

Amikor tagadunk egy számszerűsített állítást, azaz amikor egy univerzálisan számszerűsített állítást tagadunk, akkor egy egzisztenciálisan számszerűsített állítást kapunk, és ha egy egzisztenciálisan számszerűsített állítást tagadunk, akkor egy univerzálisan számszerűsített állítást kapunk.

A számszerűsített állítás tagadásának két szabálya a következő. Ezeket DeMorgan törvényének is nevezik.

tömb java-ban

Példa: tagadja a következő állítások mindegyikét:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Nap: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Nap: ~( ∃ x ∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

osztály vs objektum java

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Nap: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Javaslatok több kvantorral:

Az egynél több változót tartalmazó állítás több kvantorral is számszerűsíthető. A többszörös univerzális kvantorok tetszőleges sorrendbe rendezhetők anélkül, hogy az eredményül kapott propozíció jelentését megváltoztatnánk. Ezenkívül a többszörös egzisztenciális kvantorok tetszőleges sorrendbe rendezhetők anélkül, hogy az állítás jelentését megváltoztatnák.

Az univerzális és egzisztenciális kvantorokat is tartalmazó állítás, ezek sorrendje nem cserélhető fel a kijelentés jelentésének megváltoztatása nélkül, például a ∃x ∀ y p(x,y) állítás azt jelenti, hogy „Létezik olyan x, hogy p (x, y) minden y-re igaz.'

Példa: Írd le a tagadást a következők mindegyikére! Határozza meg, hogy a kapott állítás igaz vagy hamis! Tegyük fel, hogy U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

Nap: ∀ x ∃ m(x²2≧m). A ∃ x ∀ m jelentése (x²≧m) az, hogy létezik olyan x-re, amelyre x²≧m, minden m-re. Az állítás igaz, mivel van olyan nagyobb x, hogy x²≧m, minden m-re.

2. ∃ m∀ x(x²

Nap: ∃ m ∀ x (x²2≧m). ∀ m∃x jelentése (x²≧m) az, hogy minden m-re létezik olyan x, amelyre x²≧m. Az állítás igaz, mint minden m-re, létezik valamilyen nagyobb x, amelyre x²≧m.