Egy implikációs utasítás 'ha....akkor' formában ábrázolható. A ⇒ szimbólum az implikációt jelzi. Tegyük fel, hogy két állítás van, P és Q. Ebben az esetben az 'ha P, akkor Q' utasítás felírható P ⇒ Q vagy P → Q alakban is, és úgy lesz olvasható, hogy 'P azt jelenti, hogy Q'. Ebben az implikációban a P állítás hipotézis, amelyet premisszaként és előzményként is ismernek, a Q állítás pedig következtetés, amelyet konzekvensként is ismerünk.
Az implikáció is fontos szerepet játszik a logikai érvelésben. Ha tudjuk, hogy az állítások implikációja igaz, akkor valahányszor az előfeltevés teljesül, a következtetésnek is igaznak kell lennie. Emiatt az implikációt feltételes utasításnak is nevezik.
Néhány példa a következményekre az alábbiak szerint:
panda iterrows
- 'Ha GOA napsütéses az időjárása, akkor strandra megyünk.'
- 'Ha a klubnak van kedvezményrendszere, akkor abba a klubba megyünk.'
- 'Ha süt a nap, miközben strandolunk, akkor lebarnulunk.'
A logikai implikáció többféleképpen fejezhető ki, amelyek leírása a következő:
- Ha p, akkor q
- Ha p, q
- q amikor p
- Q csak akkor, ha P
- q hacsak nem ~p
- q amikor p
- p elégséges feltétele q-nak
- q kövesse p
- p jelentése q
- p szükséges feltétele q
- q ha p
- q szükséges a p-hez
- p a q szükséges feltétele
Most a P premissza és a Q következtetés segítségével leírjuk a példákat az összes fent leírt implikációra. Ehhez feltételezzük, hogy P = süt a nap és Q = strandolni fogok.
P ⇒ K
- HA süt a nap, akkor kimegyek a strandra
- Ha süt a nap, kimegyek a strandra
- Kimegyek a strandra, AMIKOR süt a nap
- A strandra CSAK HA süt a nap
- Kimegyek a strandra, HA nem süt a nap
- A partra megyek, AMIKOR süt a nap
- Napsütés Elegendő FELTÉTEL A strandra megyek
- Kimegyek a strandra KÖVESSEN süt a nap
- süt a nap, EZT VONATKOZIK, hogy kimegyek a strandra
- SZÜKSÉGES FELTÉTEL A napsütéshez, hogy kimegyek a strandra
- Kimegyek a strandra, ha süt a nap
- Kimegyek a strandra, SZÜKSÉGES, mert süt a nap
- Napsütés SZÜKSÉGES FELTÉTEL, HOGY kimegyek a strandra
Ha van egy feltételes állítás, „ha p, akkor q”, akkor ez a P ⇒ Q állítás hamis lesz, ha a p premisszája igaz, és a q következtetés hamis. Az összes többi esetben ez azt jelenti, hogy ha p hamis vagy Q igaz, a P ⇒ Q állítás igaz lesz. Ezt az állítást egy olyan igazságtáblázat segítségével tudjuk ábrázolni, amelyben a hamisat F, az igazat pedig T képviseli. A 'ha P, akkor Q' állítás igazságtáblázatát a következőképpen írjuk le:
| P | K | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nem szükséges, hogy a premisszák és a következtetés összefüggjenek egymással. P és Q megfogalmazása alapján az igazságtábla értelmezése függő.
Például:
- Ha a Jack műanyagból van, akkor az óceán zöld.
- A kijelentés: A Jack műanyagból készült
- A kijelentés: Az óceán zöld
A fenti két állításnak semmi értelme, mert Jack ember, és soha nem lehet műanyagból, és egy másik kijelentés, hogy az óceán zöld, soha nem fog megtörténni, mert az óceán mindig kék, és az óceán színét nem lehet megváltoztatni. Mint láthatjuk, a két állítás nem kapcsolódik egymáshoz. Másrészt a P ⇒ Q állítás igazságtáblázata érvényes. Tehát nem az a kérdés, hogy az igazságtáblázat helyes-e vagy sem, hanem képzelet és értelmezés kérdése.
Tehát P ⇒ Q-ban nincs szükségünk semmilyen kapcsolatra a premissza és a következmény között. P és Q valódi értéke alapján ezek jelentése csak attól függ.
Ezek az állítások akkor is hamisak lesznek, ha a világunkra vonatkozó mindkét állítást figyelembe vesszük, tehát
False ⇒ False
Tehát ha megnézzük a fenti igazságtáblázatot, azt látjuk, hogy amikor P hamis és Q hamis, akkor P ⇒ Q igaz.
Tehát, ha a Jack műanyagból készült, akkor az óceán zöld lesz.
A p premissza és a q következtetés azonban összefügg, és mindkét állításnak van értelme.
Kétértelműség
Az implikált operátorban kétértelműség lehet. Tehát amikor az imply operátort (⇒) használjuk, ebben az időben a zárójelet kell használnunk.
Például: Ebben a példában van egy kétértelmű P ⇒ Q ⇒ R állításunk. Most két kétértelmű állításunk van ((P ⇒ Q) ⇒ R) vagy (P ⇒ (Q ⇒ R)), és meg kell mutatnunk, hogy ezek az állítások hasonlóak vagy sem.
Megoldás: Ezt egy igazságtáblázat segítségével fogjuk igazolni, amelyet a következőképpen írunk le:
| P | K | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
A fenti igazságtáblázatban láthatjuk, hogy P ⇒ (Q ⇒ R) és (P ⇒ Q) ⇒ R igazságtáblázata nem hasonló. Ezért mindkettő különböző kimeneteket vagy eredményeket generál.
További információ az Implikációról
Néhány további példa a következményre az alábbiak szerint:
- Ha süt a nap, akkor megyek iskolába.
- Ha jó állást kapok, akkor pénzt keresek.
- Ha jó jegyeket kapok, akkor a szüleim boldogok lesznek.
A fenti példák mindegyikében összezavarodunk, mert nem tudjuk, mikor tekintünk egy implikációt igaznak és mikor tekintünk hamisnak. A probléma megoldására és az implikáció fogalmának megértésére egy hipotetikus példát fogunk használni. Ebben a példában azt feltételezzük, hogy Marry tollaslabdázni fog a barátjával, Jackkel, barátja, Jack pedig egy kicsit motiválni akarja Marryt, ezért egy kijelentéssel csábítja el:
'If you win then I will buy a ring for you'
Ezzel a kijelentéssel Jack azt jelenti, hogy ha a házasság nyer, akkor nyilvánvalóan vesz egy gyűrűt. Ezzel a kijelentéssel Jack csak akkor kötelezi el magát, ha Marry nyer. Semmit sem követett el, amikor Mary elszabadult. Így a meccs végén már csak négy lehetőség adódhat, amelyek leírása a következő:
- Házasság nyer – vesz egy gyűrűt.
- A házasság nyer – ne vegyél gyűrűt.
- Marry veszít – vegyél egy gyűrűt.
- Marry veszít – ne vegyél gyűrűt.
Jack azonban nem nyilatkozott a (B) szabállyal kapcsolatban. A (C) és (D) szabályokat sem említette nyilatkozatában, tehát ha Marry laza, akkor teljesen Jacken múlik, hogy vesz-e neki gyűrűt vagy sem. Valójában előfordulhat, hogy az (A), (C) és (D) kijelentés annak a kijelentésnek az eredménye, amelyet Jack házasodni mond, de (B) nem lesz az eredmény. Ha a (B) eredmény bekövetkezik, akkor Jack csak akkor fog hazugságon. Mind a másik három esetben, azaz (A), (C) és (D) igazat mondott.
Most az egyszerűbb állítást fogjuk használni, így jelképesen definiálhatjuk Jack kijelentését:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Ebben az implikációban a ⇒ logikai szimbólumot használjuk, amely „implikációként” olvasható. A Jack's Compound utasítást úgy alakítjuk ki, hogy ezt a nyilat P-ből Q-ba helyezzük így:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Összefoglalva, megfigyeltük, hogy az implikáció csak akkor hamis, ha P igaz és q hamis. E nyilatkozat szerint Marry nyeri a játékot, de Jack sajnos nem vesz gyűrűt. Az összes többi esetben/eredményben az állítás igaz lesz. Ennek megfelelően az implikáció igazságtáblázatát a következőképpen írjuk le:
| P | K | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Az implikációhoz tartozó megfelelő logikai egyenletek listája a következő:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Példák az implikációra:
Különféle példák vannak az implikációkra, és néhányat az alábbiak szerint ismertetünk:
1. példa: Tegyük fel, hogy négy állítás van, P, Q, R és S ahol
P: Jack iskolába jár
K: Jack tanít
R: Jack alszik
S: Jack beteg
Most leírunk néhány szimbolikus állítást, amelyek ezekhez az egyszerű kijelentésekhez kapcsolódnak.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Itt meg kell mutatnunk e szimbolikus kijelentések szóbeli értelmezésének ábrázolását.
Megoldás:
| P → R | Ha Jack iskolába jár, akkor Jack tanít. |
| S → ~P | Ha Jack beteg, akkor nem jár iskolába. |
| ~Q → (S ∧ R) | Ha Jack nem tanít, akkor beteg és alszik. |
| (P ∨ R) → ~Q | Ha Jack iskolában van vagy alszik, akkor nem tanít. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Ha Jack nem alszik és nem beteg, akkor tanít vagy nem az iskolában. |
2. példa: Ebben a példában van egy P → Q implikáció. Itt van még három összetett állításunk, amelyek természetes módon kapcsolódnak ehhez az implikációhoz, amely ellentétes, inverz és fordított implikáció. A négy állítás közötti összefüggést egy táblázat segítségével írjuk le, amely a következőképpen írható le:
| Következmény | P → Q |
| társalog | Q → P |
| Inverz | ~P → ~Q |
| Ellentétes | ~Q → ~P |
Most megvizsgálunk egy példát az implikációra, amely a következő kijelentést tartalmazza: „Ha jól tanulsz, jó jegyeket kapsz”. Ez az állítás P → Q formában van, ahol
P: jól tanulsz
K: Jó jegyeket kapsz
Most a P és Q utasításokat fogjuk használni, és a négy társított utasítást így mutatjuk be:
Következmény: Ha jól tanulsz, jó jegyeket kapsz.
Társalog: Ha jó jegyeket kapsz, jól tanulsz.
Inverz: Ha nem tanulsz jól, nem kapsz jó jegyeket.
Ellentétes: Ha nem kapsz jó jegyeket, nem tanulsz jól.
Az összes fenti társított állítás igazságértékét egy igazságtáblázat segítségével írjuk le, amelyet a következőképpen írunk le:
| P | K | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
A fenti táblázatban láthatjuk, hogy az implikáció (P → Q) és kontrapozitívuma (~Q → ~P) azonos értékű az oszlopaiban. Ez azt jelenti, hogy mindkettő egyenértékű. Tehát azt mondhatjuk, hogy:
P → Q = ~Q → ~P
Hasonlóképpen láthatjuk, hogy a fordított és az inverz oszlopaiban is hasonló értékek vannak. De ez nem változtat, mert az inverz az ellenkezőjének az ellentétje. Hasonlóképpen, az eredeti implikáció az ellenpozitív kontrapozitívumából származhat. (Ez azt jelenti, hogy ha tagadjuk P-t és Q-t, majd átváltjuk a nyíl irányát, és ezután ismét megismételjük a folyamatot, ez azt jelenti, hogy tagadjuk a ~P és ~Q-t, és ismét átkapcsoljuk a nyíl irányát, ebben az esetben azt kapjuk vissza, ahonnan indultunk).