Ez egy hasznos eszköz, amely teljesen leírja a kapcsolódó részleges sorrendet. Ezért rendezési diagramnak is nevezik. Nagyon könnyű egy A halmazon lévő reláció irányított gráfját ekvivalens Hasse-diagrammá alakítani. Ezért a Hasse-diagram rajzolásakor a következő pontokat kell szem előtt tartani.
- A Hasse-diagram csúcsait körök helyett pontok jelölik.
- Mivel a részleges sorrend reflexív, ezért A minden csúcsának önmagához kell kapcsolódnia, így a csúcstól önmagához vezető élek törlődnek a Hasse-diagramban.
- Mivel a részleges sorrend tranzitív, ezért amikor aRb, bRc, akkor aRc-t kapunk. Távolítson el minden olyan élt, amelyre a Hasse-diagram tranzitív tulajdonsága utal, azaz törölje az élt a-ból c-be, de megtartsa a másik két élt.
- Ha egy 'a' csúcsot a 'b' csúcshoz egy él, azaz aRb köt össze, akkor a 'b' csúcs az 'a' csúcs felett jelenik meg. Ezért a nyíl elhagyható a Hasse-diagram élei közül.
A Hasse-diagram sokkal egyszerűbb, mint a részleges sorrend irányított gráfja.
Példa: Tekintsük az A = {4, 5, 6, 7} halmazt. Legyen R az A-n lévő ≦ reláció. Rajzolja meg R irányított gráfját és Hasse-diagramját.
Megoldás: A ≦ relációt az A halmazon az adja meg
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
Az R reláció irányított grafikonja a következő ábrán látható:
A részleges sorrendű Hasse-diagram megrajzolásához alkalmazza a következő pontokat:
- Törölje az összes élt, amelyre a reflexív tulajdonság utal, pl.
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Törölje a tranzitív tulajdonság által feltételezett összes élt, pl.
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - A csúcsokat ábrázoló köröket cserélje ki pontokra.
- Hagyja ki a nyilakat.
A Hasse-diagram az ábrán látható:
Felső határ: Tekintsük B-t egy részlegesen rendezett A halmaz részhalmazának. Egy x ∈ A elemet B felső korlátjának nevezünk, ha y ≦ x minden y ∈ B esetén.
Alsó határ: Tekintsük B-t egy részlegesen rendezett A halmaz részhalmazának. A z ∈ A elemet B alsó korlátjának nevezzük, ha z ≦ x minden x ∈ B esetén.
Példa: Tekintsük az A = {a, b, c, d, e, f, g} pózt az ábrán látható sorrendben. Legyen B = {c, d, e} is. Határozza meg B felső és alsó határát.
Megoldás: B felső korlátja e, f és g, mert B minden eleme '≦' e, f és g.
B alsó határai a és b, mert a és b '≦' B minden eleme.
Legkisebb felső határ (SUPREMUM):
Legyen A egy részhalmaza egy részlegesen rendezett S halmaznak. Az S-beli M elemet A felső korlátjának nevezzük, ha M követi A minden elemét, azaz ha A-beli minden x-re x-et kapunk<=m< p>
Ha A felső korlátja megelőzi A minden más felső korlátját, akkor azt A felső határának nevezzük, és Sup (A) jelöli.
Legnagyobb alsó határ (INFIMUM):
Az S pózban lévő m elemet S egy A részhalmazának alsó korlátjának nevezzük, ha m megelőzi A minden elemét, azaz ha minden y-re A-ban van m<=y < p>
Ha A alsó korlátja követi A minden más alsó korlátját, akkor azt A infimumának nevezzük, és Inf (A) jelöléssel jelöljük.
Példa: Határozzuk meg B = {a, b, c} legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátját, ha léteznek, annak a póznak, amelynek Hasse-diagramja az ábrán látható:
str.substring java-ban
Megoldás: A legkisebb felső korlát c.
A legnagyobb alsó korlát a k.