Előfeltételek: BIT Adott 'n' szakaszok mindegyike vízszintes vagy függőleges, keresse meg a háromszögek maximális számát (beleértve a nulla területű háromszögeket is), amelyek a szakaszok metszéspontjainak összekapcsolásával képezhetők. Nincs két vízszintes vonalszakasz átfedésben, és nincs két függőleges vonalszakasz sem. Egy egyenest két pont segítségével ábrázolunk (négy egész szám, amelyek közül az első kettő az első pont x és y koordinátája, a másik kettő pedig a második pont x és y koordinátája) Példák:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Az ötlet alapja Sweep Line algoritmus . A megoldás felépítése lépésekben:
- Tárolja az összes vonalszakasz mindkét pontját a megfelelő eseménnyel (lásd alább) egy vektorban, és rendezze az összes pontot az x koordinátáik nem csökkenő sorrendjében.
- Képzeljünk el egy függőleges vonalat, amelyet végigsöpörünk ezeken a pontokon, és írjunk le 3 eseményt az alapján, hogy éppen melyik ponton vagyunk:
- a függőleges vonal
- Mi a régiót hívjuk 'aktív' vagy a vízszintes vonalakat 'aktív' akiknek megvolt az első eseménye, de nem a második. Lesz egy BIT-ünk (binárisan indexelt fa), amely az összes aktív vonal „y” koordinátáit tárolja.
- Ha egy sor inaktívvá válik, eltávolítjuk az „y”-t a BIT-ből.
- Amikor egy harmadik típusú esemény történik, vagyis amikor egy függőleges vonalnál vagyunk, lekérdezzük a fát az 'y' koordináták tartományában, és az eredményt hozzáadjuk az eddigi metszéspontok számához.
- Végül megmondjuk a metszéspontok számát m akkor a háromszögek száma (a nulla területtel együtt) az lesz mC3 .
be - egy vízszintes vonalszakasz bal szélső pontjaki - a vízszintes vonalszakasz jobb szélső pontjaJegyzet: Meg kell gondosan rendezni a pontokat nézd meg a cmp() funkció a megvalósításban az egyértelműség kedvéért.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Kimenet:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Segédtér: O(maxy), ahol maxy = 1000005